르베그 덮개 차원

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르베그 덮개 차원(-次元, Lebesgue covering dimension) 또는 르베그 피복 차원(-被覆 次元)은 위상수학에서 위상공간에 적당한 위상적 불변량으로서의 차원을 주는 한 방법이다. 위상적 차원(topological dimension)이라고도 불린다. 앙리 르베그의 연구 결과에 바탕하여 체코수학자 에두아르트 체흐(Eduard Čech)가 처음으로 공식적으로 도입하였다.

정의[편집]

어떤 위상공간 X가 주어져 있다고 하자. 그러면, 임의의 유한 열린 덮개 A에 대해서도, X의 임의의 점이 주어졌을 때 이를 포함하는 B의 원소가 n+1개 이하인 A의 세분 B가 존재할 경우, X는 n의 르베그 덮개 차원을 가진다.

사례[편집]

성질[편집]

  • 위상동형인 두 위상공간은 서로 같은 르베그 덮개 차원을 갖는다.
  • 단순복합체(Simplical complex)의 경우, 르베그 덮개 차원과 아핀 차원은 일치한다. (르베그 덮개 정리)
  • 정규공간의 르베그 덮개 차원은 귀납적 차원보다 적거나 같다.
  • 정규공간 X의 위상적 차원이 n보다 적거나 같을 필요충분조건은 X의 임의 닫힌 집합 A에 대하여, 만약  f:A\rightarrow S^n 연속이라면,  f 의 X에 대한 확장  g:X\rightarrow S^n 이 존재하는 것이다. 여기서  S^n 은 n차원 구면이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  • Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
  • A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8
  • V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.