덮개 (위상수학)

어떤 집합에 대해 그 집합의 덮개(cover)는 집합들의 모임으로, 집합들을 합집합하면 원래 집합을 부분집합으로 갖는 경우를 가리킨다. 수식으로 표기하면, 집합 $X$과 집합족 $\mathcal{C} = \{U_\alpha: \alpha \in A\}$에 대하여

$X \subseteq \bigcup_\alpha U_\alpha$

가 성립할 경우, $\mathcal{C}$는 $X$의 덮개라고 정의한다.

덮개의 부분집합이 역시 덮개인 경우는 부분덮개라고 부른다. 덮개를 구성하는 원소의 갯수가 유한한 경우는 유한덮개로 부른다.

만약 덮개에 속하는 모든 집합이 열린 집합인 경우는 열린 덮개로 정의한다.

컴팩트

위상공간을 세부적으로 분류할 때, 위상공간이 열린 덮개에 대해 어떤 성질을 가지고 있는지를 이용하기도 한다.

• 컴팩트 공간은 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가진다.
  • 또는 이를 파라컴팩트성과 대칭을 이루도록 표현하기 위해 '모든 열린 덮개가 유한 세분 열린 덮개를 가진다.'로 쓰기도 한다. 물론 두 조건은 동치이다.
• 린델뢰프 공간은 모든 열린 덮개가 가산 부분덮개를 가진다.
• 파라컴팩트 공간은 모든 열린 덮개가 국소적 유한(locally finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.
• 메조컴팩트 공간은 모든 열린 덮개가 컴팩트 유한(compact finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.
• 메타컴팩트 공간은 모든 열린 덮개가 점 유한(point finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.
• 직교 컴팩트 공간은 모든 열린 덮개가 내부 보존(interior preserving) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.