덮개 (위상수학)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 덮개(영어: cover)는 합집합이 전체 집합인 부분 집합들의 집합족이다.

정의[편집]

집합 X덮개는 다음 조건을 만족시키는 집합족 \mathcal{C} \subset\mathcal P(X)이다.

X=\bigcup\mathcal C=\bigcup_{C\in\mathcal C}C[1]:164

집합 X의 덮개 \mathcal C세분(영어: refinement) \mathcal D는 다음 조건을 만족시키는 X의 덮개이다.

  • 모든 D\in\mathcal C에 대하여, D\subseteq CC\in\mathcal C가 존재한다.

집합 X의 덮개 \mathcal C부분 덮개(영어: subcover) \mathcal D\mathcal D\subseteq\mathcal CX의 덮개이다.

유한 덮개유한 집합인 덮개이다. 가산 덮개가산 집합인 덮개이다. 열린 덮개열린 집합들만을 포함하는 덮개이다.

응용[편집]

위상 공간을 세부적으로 분류할 때, 위상 공간이 열린 덮개에 대해 어떤 성질을 가지고 있는지를 이용하기도 한다.

  • 콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가진다.
    • 또는 이를 파라콤팩트성과 대칭을 이루도록 표현하기 위해 '모든 열린 덮개가 유한 세분 열린 덮개를 가진다.'로 쓰기도 한다. 물론 두 조건은 동치이다.[2]
  • 린델뢰프 공간은 모든 열린 덮개가 가산 부분덮개를 가진다.
  • 파라콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 국소적 유한(locally finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.
  • 메조콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 콤팩트 유한(compact finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.
  • 메타콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 점 유한(point finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.
  • 직교 콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 내부 보존(interior preserving) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.

주석[편집]

  1. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall
  2. Ibid., p.253.