범주의 동치

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범주론에서, 두 범주 사이의 동치(同値, equivalence (of categories)는 두 범주가 사실상 같은 구조를 지니게 하는 함자이다.

정의[편집]

\mathcal C\mathcal D가 두 범주라고 하자. 그렇다면 \mathcal C\mathcal D 사이의 동치는 다음 성질을 만족하는 함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D이다.

  • 펑터 F^{-1}\colon C\to\mathcal D가 존재하여, FF^{-1}F^{-1}F가 항등함자와 자연동형이다.

함자 F\colon\mathcal C\to\mathcal D가 동치를 이루는 필요충분조건은 다음과 같다.

  • F충실충만하고, 또한 거의 전사(almost surjective)이다 (즉, \mathcal D의 모든 원소는 적어도 하나의 F의 원소와 동형이다).

성질[편집]

범주의 동치는 범주의 동형(isomorphism, 충실충만 전단사 함자)보다 더 약한 개념이다. 범주의 동치가 범주의 동형보다 더 널리 쓰인다.

서로 동치인 두 범주는 범주론에서 다루는 거의 모든 성질이 같다. 예를 들어, 동치는 모든 극한과 쌍대극한(colimit)을 보존하며, 또한 사상전사성단사성을 보존한다.

참고 문헌[편집]