범주의 동치

범주론에서, 두 범주 사이의 동치(同値, equivalence (of categories)는 두 범주가 사실상 같은 구조를 지니게 하는 펑터이다.

정의

$\mathcal C$와 $\mathcal D$가 두 범주라고 하자. 그렇다면 $\mathcal C$와 $\mathcal D$ 사이의 동치는 다음 성질을 만족하는 펑터 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$이다.

• 펑터 $F^{-1}\colon C\to\mathcal D$가 존재하여, $FF^{-1}$와 $F^{-1}F$가 항등 펑터와 자연동형이다.

펑터 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$가 동치를 이루는 필요충분조건은 다음과 같다.

• $F$는 충실충만하고, 또한 거의 전사(almost surjective)이다 (즉, $\mathcal D$의 모든 원소는 적어도 하나의 $F$의 상의 원소와 동형이다).

성질

범주의 동치는 범주의 동형(isomorphism, 충실충만 전단사 펑터)보다 더 약한 개념이다. 범주의 동치가 범주의 동형보다 더 널리 쓰인다.

서로 동치인 두 범주는 범주론에서 다루는 거의 모든 성질이 같다. 예를 들어, 동치는 모든 극한과 쌍대극한(colimit)을 보존하며, 또한 사상의 전사성 및 단사성을 보존한다.

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the Working Mathematician》, Graduate Texts in Mathematics 5, 2판, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8