노름

‘노름’은 도박을 뜻하는 말이기도 하다.

수학의 노름(norm), 놈, 또는 노음은 벡터공간의 벡터들에 대해 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’를 부여하기 위한 함수로, 선형대수학 및 함수해석학 등의 분야에서 쓰인다. 영 벡터의 노름은 0이며, 그 외의 모든 벡터는 양의 실수 노름을 갖는다. 한편, 영 벡터 이외의 벡터도 노름이 0이 될 수 있도록 조건을 약화한 것을 반노름(seminorm)이라 한다.

예를 들어, Rⁿ에 유클리드 노름을 정의한 것을 n차원 유클리드 공간이라 하는데, 이 때 주어진 벡터의 노름은 원점으로부터의 직선거리가 된다.

노름이 주어진 벡터공간을 노름벡터공간 또는 노름공간이라 부르며, 반노름이 주어진 공간은 반노름공간이라고 한다.

정의

F가 복소수체의 부분체(예: 실수체나 유리수체 등)이고 V가 그 위의 벡터공간이라 하자. 이때 V 상의 반노름이란 함수 p: V → R로서 임의의 F의 원소 a과 V의 원소 u, v에 대해 다음의 두 조건을 만족하는 것이다:

1. p(a v) = |a| p(v) (양의 동차성),
2. p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (삼각 부등식 혹은 준가법성).

위의 두 조건으로부터 p(0) = 0임을 알 수 있으며, 따라서 다음이 성립한다:

p(v) ≥ 0 (양수성).

여기에 더해, 반노름 p가 다음의 조건까지 만족하면 이를 노름이라 한다:

p(v) = 0일 필요충분조건은 v = 0 (양의 정부호성).

많은 경우 벡터 v의 노름을 p(v) 대신 ||v|| 혹은 |v|로 나타낸다.

예

유클리드 공간에서의 노름

서로 다른 노름공간에서 정의된 단위원.

x를 유클리드 공간 Rⁿ의 원소라 하자.

• 유클리드 노름 

  $\textstyle ||\mathbf{x}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2 }$

• ℓ¹-노름 

  $\textstyle ||\mathbf{x}||_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$

• 상한 노름 

  $\textstyle ||\mathbf{x}||_\infty = \mathrm{max} \{ |x_1|, |x_2|, \cdots |x_n| \}$

• ℓ^p-노름 

  $\textstyle ||\mathbf{x}||_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1\over p}$