노름

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선형대수학함수해석학에서 노름(영어: norm [*])은 벡터공간의 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’를 부여하는 함수이다., 선형대수학함수해석학 등의 분야에서 쓰인다. 영 벡터의 노름은 0이며, 그 외의 모든 벡터는 양의 실수 노름을 갖는다. 한편, 영 벡터 이외의 벡터도 노름이 0이 될 수 있도록 조건을 약화한 것을 반노름(半norm, 영어: seminorm 세미놈[*])이라 한다.

정의[편집]

복소수체의 부분체 K에 대한 벡터공간 V반노름이란 다음 두 조건들을 만족시키는 함수

\Vert\cdot\Vert\colon V\to\mathbb R
\Vert\cdot\Vert\colon v\mapsto\Vert v\Vert

이다.

  • (양의 동차성) 임의의 a\in Kv\in V에 대하여, \Vert av\Vert=|a|\Vert v\Vert
  • (삼각 부등식) 임의의 u,v\in V에 대하여, \Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert

이 두 공리로부터 \Vert v\Vert\in[0,\infty)임을 알 수 있다.

V노름은 다음 조건을 추가로 만족시키는 반노름 \Vert\cdot\Vert이다.

  • (양의 정부호성) 모든 v\in V에 대하여, \Vert v\Vert=0임은 v=0임과 동치이다.

노름이 주어진 벡터공간노름공간(영어: normed space)이라 부르며, 반노름이 주어진 공간은 반노름공간(영어: seminormed space)이라고 한다.

[편집]

모든 벡터공간에서 자명 반노름 \Vert v\Vert=0은 반노름을 이루지만, 이는 노름을 이루지 못한다.

K\subset\mathbb C는 스스로에 대한 1차원 벡터공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 \Vert a\Vert=|a|노름을 이룬다.

유클리드 공간에서의 노름[편집]

서로 다른 노름공간에서 정의된 단위원.

임의의 1\le p\le\infty에 대하여, 유클리드 공간 \mathbb R^n 위에 다음과 같은 노름 \Vert\cdot\Vert_p을 정의할 수 있으며, 이를 p 노름이라고 한다.

\Vert\mathbf{x}\Vert_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}

여기서 p=2인 경우는 표준적인 유클리드 노름

\Vert\mathbf{x}\Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2 }

이다. 만약 p=\infty일 경우는 상한 노름(영어: supremum norm)

\Vert\mathbf{x}\Vert_\infty = \lim_{p\to\infty}\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}=\max\{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_n| \}

이 된다. p=1인 경우는 맨해튼 노름

\Vert\mathbf{x}\Vert_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|

이 된다.

\ell^p 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, \mathbb R^4 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

\Vert x\Vert= 2|x_1| + \sqrt{3|x_2|^2 + \max(|x_3|,2|x_4|)^2}

바깥 고리[편집]