단위원

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단위원(單位圓)은 반경이 1인 원이다. 특별히 해석기하학에서는 원점 (0, 0) 을 중심으로 하는 반경이 1인 원을 말한다. 즉, 원점으로부터 거리가 1 인 점의 자취이다.

많은 경우 단위원은 S^1으로 표시한다. 이것은 일반적인 n 차원 구면(sphere) 개념 중 n = 1 의 경우를 뜻한다.

S^1 = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = 1\right\}.

단위원 위의 임의의 한 점의 삼각매개화[편집]

단위원 위의 임의의 점 P극좌표를 이용하여 나타내는 경우, (r,\theta)=(1,\theta) (\theta: 점 P와 원점을 이은 반직선 OPx축이 이루는 각, 0\theta2\pi)으로 나타낼 수 있다. 또한 이 점을 직교좌표를 이용하여 표현하는 경우, 이 점의 좌표는 (x,y)로 나타낼 수 있다.



P에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면 sin\theta=\frac{y}{r}, cos\theta=\frac{x}{r}으로 나타낼 수 있다.

단위원의 경우, 원점으로부터의 거리 r=1이므로 x=sin\theta, y=cos\theta로 정리할 수 있다.

이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리(r)'와 'x축의 양의 방향과 이루는 각도(\theta)'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다.

단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화[편집]

단위원 위의 임의의 한 점 P를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 t(t: 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 (-1,0)을 지나는 직선 l을 생각한다. 이 경우, 직선 l은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 (-1,0), 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 P가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 l의 방정식을 연립하여 점 P의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 t에 대해 원 위의 모든 점(단, (-1,0)은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.

단위원의 원의 방정식: x^2 + y^2 = 1.
직선ℓ의 직선의 방정식: y=tx+t.

직선l의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 y를 소거하면 x에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다.

x^2+(tx+t)^2=1.
\Rightarrow x^2+t^2x^2+2t^2x+t^2-1=0.
\Rightarrow (1+t^2)x^2+2t^2x+(t^2-1)=0.

얻어낸 x의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 Px좌표가 된다.

x=\frac{-t^2 \pm \sqrt{t^4-(t^2-1)(t^2+1)}}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^4-1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-t^4+1}}{(1+t^2)}=\frac{t^2  \pm1}{1+t^2}.
\therefore x=-1 또는  x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.

따라서, 점 Px좌표는 x=\frac{1-t^2}{1+t^2}이다. x좌표를 직선 l의 방정식에 대입하여 y좌표도 찾아, 점 P의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.

단위원과 직선l의 교점: P=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right).

이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단, (-1,0)제외, t\pm\infty로 발산하는 경우 점 P(-1,0)로 수렴한다)를 임의의 실수 t에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다.

참고) 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화를 통해 단위원과 임의의 곡선 g(x,y)의 교점의 갯수를 구할 수 있다.

예를들어, f(x,y)=x^2+y^2-1, g(x,y)=0 라 하자. 단, f(x,y)는 단위원 g(x,y)는 임의의 곡선이며 g(x,y)의 차수는 n이라 하자.

결론부터 말하자면, f(x,y)g(x,y)의 교점의 개수는 많아야 2n개 이하이다.

우선, 두 곡선 f(x,y)g(x,y)의 교점 Q는 단위원의 유리매개화를 통해 (-1,0)을 제외한 모든 점에서 아래와 같이 유리매개화할 수 있다.

Q=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)

이 때, (x,y)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)로 놓을 수 있고 g(x,y)=g\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)=0이다.

여기서 g(x,y)=g\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)=0을 만족하는 t의 개수가 교점의 개수이다.

따라서 우리가 알고 싶은 것은 t의 차수(degree)이므로, t에 대해 정리한 각 항의 일반적인 형태는 다음과 같다.

Cij(\frac{1-t^2}{1+t^2})^i(\frac{2t}{1+t^2})^j=Cij\frac{(1-t^2)^i(2t)^j}{(1+t^2)^{i+j}}

(단, Cij는 각 항의 계수이며, i+j<n 이다.)

그리고 위 식 우변에 (1+t^2)i+j을 곱하면,

Cij(1-t^2)^i(2t)^j(1+t^2)^{n-i+j}

그러므로 차수(degree)를 생각하면 다음과 같다.

2i+j+2n-2(i+j)
=2n-j < 2n

따라서 t의 차수가 2n보다 작으므로 단위원과 임의의 곡선 g(x,y)의 교점의 개수는 많아야 2n개 이하이다.

복소평면의 단위원[편집]

복소평면상의 단위원은 절댓값이 1 인 복소수의 자취

{zC | |z| = 1} = {exp(iθ) | 0 ≤ θ < 2π}

가 된다 (exp 는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 지수함수). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 (群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1차원의 유니타리 군으로 불리는 리 군이며 U(1)라고 표시한다.