코시 열

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코시 열(Cauchy 列, 영어: Cauchy sequence)은 수학에서 오귀스탱 루이 코시의 이름을 따 만들어진 개념으로, 대략 거리공간에서 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 이다. 약간 더 정확하게 말하면, 코시 수열은 초반의 충분히 많은 유한 개의 항을 제외하는 방법으로 남은 항들 사이의 최대 거리를 얼마든지 작게 만들 수 있는 열이다. 실수체 또는 유리수체의 경우에는 코시 수열(Cauchy 數列)이라고 한다. 수학적으로 엄밀한 정의는 다음과 같다.

정의[편집]

거리공간 X에서 정의된 열 {p_n}이 있다고 하자. 이 열이 코시 열이라 함은 임의의 \epsilon>0에 대하여 정수 N이 존재하여, N보다 같거나 큰 두 정수 n, m에 대하여 d\left(p_n,p_m\right)<\epsilon을 만족하는 것이다.

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유리수 전체의 집합 \mathbb Q실수 전체의 집합 \mathbb R절댓값으로 정의되는 일반적인 거리 d 로 정의된 거리공간 (\mathbb Q,d), (\mathbb R,d)가 있을 때, 수열 \{1/n\}_{n \in \mathbf{N}}은 코시 수열이다. \mathbb R, \mathbb Q 모두에서 수렴하며, 수렴하는 값은 0이다.

x_n =\lfloor n\sqrt{2}\rfloor/n 로 정의된 수열 \{x_n\}_{n \in \mathbb N}은 코시 수열이다. \mathbb R에서는 \sqrt 2로 수렴하지만, \sqrt 2는 유리수가 아니므로 \mathbb Q에서는 수렴하지 않는다.

같이 보기[편집]

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