수렴급수

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미적분학
v  d  e  h

수학에서 급수수열을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 무한급수를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다.

정의[편집]

급수 \sum_{j=1}^{\infty}a_j=a_1+a_2 +a_3+\cdots\,n\,번째 부분합S_n=\sum_{j=1}^{n}a_j\,이라고 할 때 부분합이 이루는 수열 \{S_n\}\,수렴하면 급수 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,수렴급수(convergent series)라고 한다. 즉, 부분합이 이루는 수열 \{S_n\}\,이 어떤 고정된 유한한 수 S\,에 수렴하여

\lim_{n\rightarrow \infty}S_n =S\,

와 같이 쓸 수 있으면 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,를 수렴급수 또는 급수 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,S\,로 수렴한다고 한다. 이때 S\,를 급수 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,(sum)이라고 한다. 이 관계는

\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\left( \sum_{j=1}^{n}a_j \right)= 
 \sum_{j=1}^{\infty}a_j=S\,

와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 발산급수(divergent series)라고 한다.

수렴급수와 발산급수의 예[편집]

  • 수렴급수
    \sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j+1}\frac{1}{j}={1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots = \ln 2.
    \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{j-1}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.
    \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^2}={1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.
    \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^3}={1 \over 1}+{1 \over 8}+{1 \over 27}+\cdots (수렴급수이지만 그 합은 알려져 있지 않다.)
  • 발산급수
     \sum_{j=1}^{\infty}(-1)^j=-1+1-1+\cdots.
     \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots.
     \sum_{j=1}^{\infty}\frac{2j-1}{5j}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}+\frac{5}{15}\cdots.

수렴정리[편집]

두 수렴급수  \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,,  \sum_{j=1}^{\infty}b_j\,의 합을 각각 A,\, B\,라고 하면 다음이 성립한다.

  • \sum_{j=1}^{\infty}\alpha a_j= \alpha \sum_{j=1}^{\infty}a_j=\alpha A\,, (\alpha:상수)
  • \sum_{j=1}^{\infty}(a_j\pm b_j)= \sum_{j=1}^{\infty}a_j\pm\sum_{j=1}^{\infty}b_j =A\pm B\,

수렴(발산)판정법[편집]

급수의 수렴여부를 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그러나 어떤 한 가지 방법으로 모든 급수의 수렴여부를 판정하는 것은 어려운 일이다. 또한 수렴여부의 판정이 수렴급수의 합에 대한 정보를 주는 것이 아니므로 수렴급수의 합을 구하는 것은 또 다른 문제이다.

발산판정법(divergence test):급수 \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,이 수렴하면 \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,이다. 따라서 \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,이 아닌 급수 \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,는 발산급수이다. 이를 이용하여 급수의 발산을 판정하는 방법을 발산판정법(divergence test)이라고 한다.

  • \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{4n+1}\,\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{4n+1}=\frac{1}{2}\neq0\,이므로 발산급수이다.
  • 급수 \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,이 조건 \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다.


비교판정법(comparision test): 급수 \sum_{n=1}^\infty a_n\,의 수렴여부를 판정하기 위해 항  a_n \,과 이미 수렴여부가 알려진 급수 \sum_{n=1}^\infty b_n의 항 b_n\,를 비교하여 수렴여부를 결정하는 판정법이다. 비교판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 n\,에 대해

  • 0 \le \ a_n \le \ b_n\,이고, \sum_{n=1}^\infty b_n\,이 수렴급수이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,도 수렴급수이다.
  • 0 \le \ b_n \le \ a_n\,이고, \sum_{n=1}^\infty b_n\,이 발산급수이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,도 발산급수이다.

비판정법(ratio test): 급수 \sum_{n=1}^\infty a_n\,의 수렴여부를 판정하기 위해 인접한 두 항  a_n, \,a_{n+1}의 비(ratio)의 극한을 이용하는 방법이다. 비판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 n\,에 대해 a_n>0\,이고 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r 일 때

  • r < 1 이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,은 수렴급수이다.
  • r > 1 이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,은 발산급수이다.
  • r = 1 이면 비판정법으로 급수 \sum_{n=1}^\infty a_n\,의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

근판정법(root test): 급수 \sum_{n=1}^\infty a_n\,의 수렴여부를 판정하기 위해 항  a_n n승근(n-th root)의 극한을 이용하는 방법이다. 근판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 n\,에 대해 a_n\ge 0\,이고 \lim_{n \to \infty} (a_n)^{\frac{1}{n}} = r 일 때

  • r < 1 이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,은 수렴급수이다.
  • r > 1 이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,은 발산급수이다.
  • r = 1 이면 근판정법으로 급수 \sum_{n=1}^\infty a_n\,의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)


적분판정법(integral test): 주어진 급수를 이상적분과 연계시켜 수렴여부를 판정하는 방법이다. f\,를 구간 [1, \infty)\,에서 양의 값을 갖는 단조감소하는 연속함수라고 하자. 만약 모든 n에 대해 f(n) = a_n\,이고

\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,

이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,는 수렴급수이다. 그러나 위 이상적분이 존재하지 않으면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,는 발산급수이다.

이외에도 극한비교판정법, 교대급수에 대한 수렴판정법, 코시의 수렴판정법, 디리클레 판정법, 아벨의 판정법 등이 있다.

절대수렴과 조건수렴[편집]

급수  \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,의 모든 항이 음이 아닌 값을 가지면( a_n\ge 0\,),  \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,을 양항급수라고 한다. 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법은 모두 양항급수의 수렴여부를 판정하는 방법이다. 절대수렴의 개념은 양항급수가 아닌 경우에도 이들 판정법을 이용하여 급수의 수렴여부를 판정할 수 있게 해준다.

  • 절대수렴: 급수  \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,가 수렴하면  \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,가 절대수렴한다고 한다. 절대수렴하는 급수는 수렴급수이다. 즉  \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,가 수렴하면  \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,도 수렴한다.
  • 조건수렴:  \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,는 수렴하지만,  \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,가 발산하면  \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,를 조건수렴한다고 한다.
  • 급수  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots\,은 수렴급수이지만,  \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\right|=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\,는 발산하므로  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\,은 절대수렴하지 않는다. 그러므로  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\,은 조건수렴하는 급수이다.