경로적분법

수학에서 곡선을 따라 적분하는 일반적인 선적분에 대해서는 선적분 문서를 참조하십시오.

양자역학에서의 경로적분(path integral)에 대해서는 경로적분 문서를 참조하십시오.

복소해석학에서 경로 적분법(Methods of contour integration)은 복소평면위의 어떤 경로를 따라 적분하는 것을 말한다. 경로적분(Contour integration)은 복소해석학의 유수 정리(Residue theorem)와 밀접하게 관련이 있다. 경로 적분법은 다음을 포함한다.

• 복소평면 위에서 곡선을 따라 복소함수를 직접 적분
• 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)의 응용
• 유수 정리(Residue theorem)의 응용

이러한 방법들과 극한 계산을 이용하여 합이나 적분의 값을 찾아낼 수 있다.

직접 계산

다변수 미적분학에서 선적분을 계산하듯이 직접 적분을 계산한다. 이 계산은 다음의 과정을 거친다.

• 경로를 매개변수화 한다.
• 적분을 매개변수로 치환한다.
• 직접 계산한다.

예

적분 경로가 단위원일 경우 $z^{-1}$의 경로적분값을 직접 계산할 수 있다. 즉, 다음 적분을 계산하면 된다.

$\oint_C {1 \over z}\,dz$

이 적분을 하기 위해 단위원을 매개변수화 한다. 그러므로 $t \in [0, 2\pi]$일 때, $z(t) = e^{it}$가 되므로 $dz/dt = ie^{it}$가 되므로 다음과 같이 계산된다.

$\begin{align} \oint_C {1 \over z}\,dz & {} = \int_0^{2\pi} {1 \over e^{it}} \, ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} 1 \,dt \\ & {} = \Big[t\Big]_0^{2\pi} i=(2\pi-0)i = 2\pi i \end{align}$

적분 정리들의 응용

코시의 적분정리(Cauchy-Goursat theorem)나 유수 정리(Residue theorem) 등 몇 가지 알려진 정리들을 활용한다.

예 1

다음 적분을 하려고 한다.

$\int_{-\infty}^{\infty} {1 \over (x^2+1)^2}\,dx$

이 적분을 하기 위해 다음과 같은 복소함수를 먼저 생각한다.

$f(z)={1 \over (z^2+1)^2}$

이 함수는 $i$와 $-i$에서 특이점을 갖는다. 우리가 선택한 경로는 우측의 그림과 같고, 계산을 해야할 부분은 실수축을 따라가는 적분부분이다. 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)과 유수 정리를 이용하는 두 가지 방법으로 계산이 가능하다. 이 경로를 $C$라고 하면 다음과 같이 계산된다.

코시 적분 공식을 이용한 계산

$\oint_C f(z)\,dz = \int_{-a}^a f(z)\,dz + \int_\text{Arc} f(z)\,dz$

이므로

$\int_{-a}^a f(z)\,dz = \oint_C f(z)\,dz - \int_\text{Arc} f(z)\,dz$

라는 사실에 주목하자. (여기서 Arc는 반원의 가장자리를 따라가는 경로)

$f(z)={1 \over (z^2+1)^2}={1 \over (z+i)^2(z-i)^2}.$

와 같이 분모가 분해되고 적분경로 내부에는 $i$에서 특이점이 발생하므로

$f(z)={{1 \over (z+i)^2} \over (z-i)^2},$

라고 쓸 수 있다. 코시 적분 공식에 직접 대입하여 다음과 같이 계산된다.

$\begin{align} \oint_C f(z)\,dz & = \oint_C {1 \over (z^2+1)^2}\,dz = \oint_C {{1 \over (z+i)^2} \over (z-i)^2}\,dz = 2\pi i \frac{d}{dz} \left(\left.{1 \over (z+i)^2}\right)\right|_{z=i} \\ & =2 \pi i \left.\left({-2 \over (z+i)^3}\right)\right|_{z = i} =2 \pi i (-i/4)={\pi\over 2} \end{align}$

반원의 가장자리를 따라가는 적분도 마저 계산해야 한다. 이 적분의 극한이 영에 수렴함을 보인다. 즉,

$\left|\int_\text{Arc} f(z)\,dz\right| \le ML$

임을 보인다. 여기서 $M$은 $|f(z)|$의 상계(upper bound)이고, $L$은 반원 가장자리의 길이이다.

$\int_\text{Arc} f(z)\,dz \le {a\pi \over (a^2-1)^2} \rightarrow 0\ \mathrm{as}\ a \rightarrow \infty.$

이므로

$\int_{-\infty}^{\infty} {1 \over (x^2+1)^2}\,dx = \int_{-\infty}^\infty f(z)\,dz = \lim_{a \rightarrow +\infty} \int_{-a}^a f(z)\,dz = {\pi\over 2}.\quad\square$

유수 정리를 이용한 계산

$i$에서 $f(z)$의 로랑 급수를 생각한다.

$f(z) = {-1 \over 4(z-i)^2} + {-i \over 4(z-i)} + {3 \over 16} + {i \over 8}(z-i) + {-5 \over 64}(z-i)^2 + \cdots$

유수(residue)의 값이 $-i/4$라는 것을 알 수 있다. 그러므로 유수 정리(residue theorem)에 의해 다음을 얻을 수 있다.

$\oint_C f(z)\,dz = \oint_C {1 \over (z^2+1)^2}\,dz = 2 \pi i \,\mathrm{Res}_{z=i} f = 2 \pi i (-i/4)={\pi\over 2}\quad\square$

마지막으로 반원의 가장자리를 따라가는 적분은 위와 같다.

예 2

다음 적분을 시도하려고 한다.

$\int_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx$

이 적분은 초등 미적분학으로 계산하기 어렵다. 위 예1과 마찬가지로 동일한 경로를 선택하여 적분한다. 그러므로 다음과 같은 복소함수의 적분을 생각해야 한다.

$\int_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.$

$e^{itz}$는 전해석함수(entire function)이므로 이 함수는 오직 분모가 영이 되는 지점에서만 특이점을 가진다. 유수(residue)를 계산하면 다음과 같다.

$\lim_{z\to i}(z-i)f(z)=\lim_{z\to i}(z-i){e^{itz} \over z^2+1}=\lim_{z\to i}(z-i){e^{itz} \over (z-i)(z+i)}$

$=\lim_{z\to i}{e^{itz} \over z+i}={e^{iti} \over i+i}={e^{-t}\over 2i}.$

그러므로 유수 정리(residue theorem)에 의해 전체 경로의 적분값은 다음과 같이 계산된다.

$\int_C f(z)\,dz=2\pi i\cdot\operatorname{Res}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.$

그런데 이 경로는 두 개의 적분으로 분해된다.

$\int_{\mbox{straight}}+\int_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t},$

따라서 다음과 같이 된다.

$\int_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int_{\mbox{arc}}.$

이로써 $t$가 영보다 클 경우와 작은 경우를 나누어야 한다. 만약 영보다 클 경우,

$\int_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz \rightarrow 0\ \mbox{as}\ a\rightarrow\infty.$

이므로 다음과 같이 적분이 계산된다.

$\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.$

비슷하게 $t$가 영보다 작을 경우 적분경로를 아래쪽 반원을 취하여

$\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,$

이 됨을 알 수 있다. 그리하여 다음을 계산할 수 있다.

$\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.\quad\square$

(만약 $t = 0$일 경우는 실해석학으로 적분값이 $\pi$임을 즉시 알 수 있다.)