경로적분법

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복소해석학에서 경로 적분법(Methods of contour integration)은 복소평면위의 어떤 경로를 따라 적분하는 것을 말한다. 경로적분(Contour integration)은 복소해석학의 유수 정리(Residue theorem)와 밀접하게 관련이 있다. 경로 적분법은 다음을 포함한다.

  • 복소평면 위에서 곡선을 따라 복소함수를 직접 적분
  • 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)의 응용
  • 유수 정리(Residue theorem)의 응용

이러한 방법들과 극한 계산을 이용하여 합이나 적분의 값을 찾아낼 수 있다.

직접 계산[편집]

다변수 미적분학에서 선적분을 계산하듯이 직접 적분을 계산한다. 이 계산은 다음의 과정을 거친다.

  • 경로를 매개변수화 한다.
  • 적분을 매개변수로 치환한다.
  • 직접 계산한다.

[편집]

적분 경로가 단위원일 경우 z^{-1}의 경로적분값을 직접 계산할 수 있다. 즉, 다음 적분을 계산하면 된다.

\oint_C {1 \over z}\,dz

이 적분을 하기 위해 단위원을 매개변수화 한다. 그러므로 t \in [0, 2\pi]일 때, z(t) = e^{it}가 되므로 dz/dt = ie^{it}가 되므로 다음과 같이 계산된다.


\begin{align}
\oint_C {1 \over z}\,dz & {} = \int_0^{2\pi} {1 \over e^{it}} \, ie^{it}\,dt =  i\int_0^{2\pi} 1 \,dt \\
& {} = \Big[t\Big]_0^{2\pi} i=(2\pi-0)i = 2\pi i
\end{align}

적분 정리들의 응용[편집]

코시의 적분정리(Cauchy-Goursat theorem)나 유수 정리(Residue theorem) 등 몇 가지 알려진 정리들을 활용한다.

예 1[편집]

다음 적분을 하려고 한다.

\int_{-\infty}^{\infty} {1 \over (x^2+1)^2}\,dx
the contour

이 적분을 하기 위해 다음과 같은 복소함수를 먼저 생각한다.

f(z)={1 \over (z^2+1)^2}

이 함수는 i-i에서 특이점을 갖는다. 우리가 선택한 경로는 우측의 그림과 같고, 계산을 해야할 부분은 실수축을 따라가는 적분부분이다. 코시 적분 공식(Cauchy integral formula)과 유수 정리를 이용하는 두 가지 방법으로 계산이 가능하다. 이 경로를 C라고 하면 다음과 같이 계산된다.

코시 적분 공식을 이용한 계산[편집]

\oint_C f(z)\,dz = \int_{-a}^a f(z)\,dz  + \int_\text{Arc} f(z)\,dz

이므로

\int_{-a}^a f(z)\,dz = \oint_C f(z)\,dz - \int_\text{Arc} f(z)\,dz

라는 사실에 주목하자. (여기서 Arc는 반원의 가장자리를 따라가는 경로)

f(z)={1 \over (z^2+1)^2}={1 \over (z+i)^2(z-i)^2}.

와 같이 분모가 분해되고 적분경로 내부에는 i에서 특이점이 발생하므로

f(z)={{1 \over (z+i)^2} \over (z-i)^2},

라고 쓸 수 있다. 코시 적분 공식에 직접 대입하여 다음과 같이 계산된다.


\begin{align}
\oint_C f(z)\,dz & = \oint_C {1 \over (z^2+1)^2}\,dz = \oint_C {{1 \over (z+i)^2} \over (z-i)^2}\,dz = 2\pi i \frac{d}{dz} \left(\left.{1 \over (z+i)^2}\right)\right|_{z=i} \\
& =2 \pi i \left.\left({-2 \over (z+i)^3}\right)\right|_{z = i} =2 \pi i (-i/4)={\pi\over 2}
\end{align}

반원의 가장자리를 따라가는 적분도 마저 계산해야 한다. 이 적분의 극한이 영에 수렴함을 보인다. 즉,

\left|\int_\text{Arc} f(z)\,dz\right| \le ML

임을 보인다. 여기서 M|f(z)|의 상계(upper bound)이고, L은 반원 가장자리의 길이이다.

\int_\text{Arc} f(z)\,dz \le {a\pi \over (a^2-1)^2} \rightarrow 0\ \mathrm{as}\ a \rightarrow \infty.

이므로

\int_{-\infty}^{\infty} {1 \over (x^2+1)^2}\,dx = \int_{-\infty}^\infty f(z)\,dz = \lim_{a \rightarrow +\infty} \int_{-a}^a f(z)\,dz = {\pi\over 2}.\quad\square

유수 정리를 이용한 계산[편집]

i에서 f(z)로랑 급수를 생각한다.

f(z) = {-1 \over 4(z-i)^2} + {-i \over 4(z-i)} + {3 \over 16} + {i \over 8}(z-i) + {-5 \over 64}(z-i)^2 + \cdots

유수(residue)의 값이 -i/4라는 것을 알 수 있다. 그러므로 유수 정리(residue theorem)에 의해 다음을 얻을 수 있다.

 \oint_C f(z)\,dz = \oint_C {1 \over (z^2+1)^2}\,dz = 2 \pi i \,\mathrm{Res}_{z=i} f = 2 \pi i (-i/4)={\pi\over 2}\quad\square

마지막으로 반원의 가장자리를 따라가는 적분은 위와 같다.

예 2[편집]

다음 적분을 시도하려고 한다.

\int_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx

이 적분은 초등 미적분학으로 계산하기 어렵다. 위 예1과 마찬가지로 동일한 경로를 선택하여 적분한다. 그러므로 다음과 같은 복소함수의 적분을 생각해야 한다.

\int_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.

e^{itz}전해석함수(entire function)이므로 이 함수는 오직 분모가 영이 되는 지점에서만 특이점을 가진다. 유수(residue)를 계산하면 다음과 같다.

\lim_{z\to i}(z-i)f(z)=\lim_{z\to i}(z-i){e^{itz} \over z^2+1}=\lim_{z\to i}(z-i){e^{itz} \over (z-i)(z+i)}
=\lim_{z\to i}{e^{itz} \over z+i}={e^{iti} \over i+i}={e^{-t}\over 2i}.

그러므로 유수 정리(residue theorem)에 의해 전체 경로의 적분값은 다음과 같이 계산된다.

\int_C f(z)\,dz=2\pi i\cdot\operatorname{Res}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.

그런데 이 경로는 두 개의 적분으로 분해된다.

\int_{\mbox{straight}}+\int_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t},

따라서 다음과 같이 된다.

\int_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int_{\mbox{arc}}.

이로써 t가 영보다 클 경우와 작은 경우를 나누어야 한다. 만약 영보다 클 경우,

\int_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz
\rightarrow 0\ \mbox{as}\ a\rightarrow\infty.

이므로 다음과 같이 적분이 계산된다.

\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.

비슷하게 t가 영보다 작을 경우 적분경로를 아래쪽 반원을 취하여

\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,

이 됨을 알 수 있다. 그리하여 다음을 계산할 수 있다.

\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.\quad\square

(만약 t = 0일 경우는 실해석학으로 적분값이 \pi임을 즉시 알 수 있다.)