로랑 급수

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로랑 급수(Laurent級數, 영어: Laurent series)는 정칙함수에 대한, 테일러 급수를 일반화한 급수이다. 테일러 급수와 달리 음의 계수의 항을 가질 수 있고, 고립 특이점을 갖는 함수를 급수로 전개할 때에도 쓸 수 있다.

역사[편집]

피에르 알퐁스 로랑1843년에 발표하였다.

정의[편집]

환영역(영어: annular domain) R(z_0,a,b)는 다음과 같은 집합이다.

R(z_0,a,b)=\{z\in\mathbb C\colon a<|z-z_0|<b\}

어떤 함수 f\colon R(z_0,a,b)\to\mathbb C가 환영역 R(z_0,a,b)에서 정칙함수라고 하자. 그렇다면 이 환영역에서 f로랑 급수는 다음과 같은 꼴의 급수이다.

f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n

여기서, 차수가 음이 아닌 부분

\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n

을 로랑 급수의 해석부분(解析部分, 영어: analytic part), 차수가 음수인 부분

\sum_{k=1}^\infty c_{-k}(z-z_0)^{-k}

을 로랑 급수의 주부분(主部分, 영어: principal part)이라고 부른다.

로랑 급수의 계수 a_n코시 적분공식에 의하여 주어진다.

c_n=\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz

여기서 폐곡선 C는 환영역 안에 존재하는 임의의 양의 방향의 단순 닫힌 경로(회전수 영어: winding number)가 1인 폐곡선)이다.

로랑 급수의 수렴[편집]

주어진 로랑 급수의 경우, 로랑 급수가 균등수렴하는 최대 환영역 R(z_0,a,b)의 안·밖 반지름 a,b는 다음과 같다.

a=\limsup_{n\to\infty}|a_{-n}|^{1/n}
1/b=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}

환영역의 경계에서는 로랑 급수의 수렴 여부는 불분명하다.

성질[편집]

주어진 환영역 위에서, 로랑 급수는 유일하며, 그 계수는 코시 적분공식에 의하여 주어진다. 그러나 복잡한 정의역을 갖는 정칙함수의 경우, 정의역의 서로 다른 환영역 부분집합에서 서로 다른 로랑 급수가 존재할 수 있다.

예를 들어, 정칙함수

f(z)=\frac1{(z-1)(z-2i)}

z=0 근처에서 전개한다고 하자. 이 경우, 정의역

\mathbb C\setminus\{1,2i\}

에 다음과 같은 환영역들을 정의할 수 있다.

  • R(0,0,1)
  • R(0,1,2)
  • R(0,2,\infty)

이 세 환영역에서 로랑 급수는 각각 다음과 같다.

  • f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{(2i)^{k+1}}-1\right)z^k
  • f(z) = \frac{1+2i}{5} \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{z^k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2i)^{k+1}}z^k\right)
  • f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=1}^\infty \frac{1-(2i)^{k-1}}{z^k}

이 세 로랑 급수는 각각 서로 겹치자 않는 환영역에서 정의되며, 이 속에서 수렴하지만 환영역이 다르므로 서로 다른 급수이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC.. ISBN 0-471-15496-2