로랑 급수

로랑 급수(Laurent Series)는 피에르 알퐁스 로랑(프랑스어: Pierre Alphonse Laurent)이 1843년에 발표한 급수이다. 테일러 급수(Taylor Series)의 일반화로서, 고립 특이점을 갖는 함수를 급수로 전개할 때에도 이용할 수 있으므로 매우 강력한 수학적 도구의 하나이다.

함수 $\scriptstyle f\left( z \right)$가 환영역(annular domain), 즉 (복소평면상에서 어떤 점 ($z_{0}$)를 중심으로 하는 원형의 영역에서, $z_0$을 중심으로 하는 좀 더 작은 원형 영역을 뺀 레코드 모양 영역)에서 해석적이면, 함수 $\scriptstyle f\left( z \right)$는 다음과 같이 테일러 급수와 유사한 형태의 무한급수꼴로 표현이 가능하다. 이것은 복소계수 해석함수의 특징인 무한 번 미분가능을 잘 나타내주고 있다. 또한 이것은 그 자체로, 유계인 전해석함수는 상수함수라는 리우빌 정리에 대한 증명이다.

$f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_{n}\left( z-z_{0} \right)^{n}}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{b_{n}}{ (z-z_{0})^{n} }}$

여기서 첫 번째 항을 해석부분(analytic part), 두 번째 항을 주부분(principal part)이라고 부른다.

로랑 급수의 각각의 계수는 적분

$a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}{\frac{f\left( z^{*} \right)}{\left( z^{*}-z_{0} \right)^{n+1}}dz^{*},\ b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}{\left( z^{*}-z_{0} \right)^{n-1}f\left( z^{*} \right)dz^{*}}}$

으로 주어지는데, 이때 경로 $C$는 환영역 안에 존재하는 임의의 양의 방향의 단순 닫힌 경로이다. 이 식은 코시 적분공식에 의한 결과를 정리한 것이다.

같이 보기

• 테일러 급수
• 코시 적분공식
• 특이점
• 유수
• 코시 부등식
• 리우빌 정리
• 해석적 확장
• 푸리에 급수
• 형식적 로랑 급수

참고도서

Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC.. ISBN 0-471-15496-2