선적분

선적분은 적분이 곡선에 대해 이루어지는 경우를 말한다.

벡터 미적분학

스칼라장 $f : \mathbf{R}^n \rarr \mathbf{R}$에 대해, 곡선 $C$가 $\mathbf{r}(t)$, $t \in [a, b]$로 매개변수화될 수 있을 때, 곡선 C에서의 선적분은 다음과 같이 정의된다.

$\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.$

이것은 $\mathbf{r}(t)$와는 독립적인 값이 된다.

벡터장 $F : \mathbf{R}^n \rarr \mathbf{R}^n$에 대해서는 다음과 같이 정의된다.

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$

복소선적분

복소선적분(Complex line integral)이란 복소해석을 하는데 이용되는 방법이다.

해석함수의 부정적분

$f\left( z \right)$가 단순연결 영역 D내에서 해석적이라 하자.

그러면 영역 D내에 $f\left( z \right)$의 부정적분, 즉, D내에 $F'\left( z \right)=f\left( z \right)$를 만족하는 해석함수 $F\left( z \right)$가 존재하며, D내의 두 점 $z_{0}$와 $z_{1}$을 연결하는 D내의 모든 경로에 대하여

$\int_{z_{0}}^{z_{1}}{f\left( z \right)dz=F\left( z_{1} \right)-F\left( z_{0} \right)}$

가 성립한다.

경로를 사용한 적분

이 방법은 해석함수에만 제한되지 않고 모든 연속인 복소함수에 적용된다.

$a\le t\le b$에서 $z=z\left( t \right)$에 의해 표시되는, 구분적으로 매끄러운 경로를 $C$라 하고, $f\left( z \right)$가 $C$위에서 연속인 함수라 하면,

$\int_{C}^{{}}{f\left( z \right)}dz=\int_{a}^{b}{f\left[ z\left( t \right) \right]}\dot{z}\left( t \right)dt$   $\left( \dot{z}=\frac{dz}{dt} \right)$

이다.