테일러 정리

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미적분학
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테일러 정리(Taylor's theorem, -定理)는 초등적인 실해석학의 중요한 정리 중 하나로, 평균값 정리를 임의의 n계 도함수에 일반화한 것으로 볼 수 있다. 유한 항에 대한 테일러 정리의 마지막 항은 특수한 형태를 갖는데, 무한 번 미분가능한 함수에 대해 계속 항을 늘려나갈 때 이 항을 없앨 수 있을 경우 테일러 정리의 전개 꼴은 테일러 급수가 된다.

공식화[편집]

실함수 f:[c, d]→R이 [c, d]에서 n+1번 미분가능하고 n+1계 도함수가 연속이라 하자. 그러면 임의의 a, x∈[c, d]에 대하여 이 함수를 다음과 같이 n+2개의 항으로 전개할 수 있다.[1]

  • f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_{n+1}(x),

여기서 마지막 항인 R_{n+1}(x)을 f의 나머지 항이라 하는데, [a, x] 또는 [x, a]에 속하는 적당한 실수 b에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

  • R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(b)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.

이러한 꼴을 나머지 항의 미분 표현이라 하고, 이는 동등한 다음의 적분 표현 형태로 변경할 수 있다.

  • R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!} \int^x_a (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt.

증명[편집]

나머지 항의 적분 표현 형태는 적분의 평균값 정리를 사용하면 미분 표현 형태로 변형 가능하다. 여기서는 적분 표현 형태로 전개하는 방법을 설명한다.[1][2] 먼저 미적분학의 기본정리에 의해 다음이 성립한다.

  • f(x) = f(a) + \int^x_a f'(t) dt.

우변의 두 번째 항을 부분적분하면,

  • f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \int^x_a (x-t)f''(t) dt = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \frac{1}{2}\int^x_a (x-t)^2f'''(t) dt = ...

이 된다. 필요한 만큼 부분적분으로 전개하면 이상의 적분 표현을 얻는다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 224-225쪽.
  2. 평균값 정리와 유사한 방법으로 미분 표현 형태를 유도하는 방법도 있다.