부분분수

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대수학에서 부분분수분해(Partial fraction decomposition) 또는 부분분수전개(partial fraction expansion)는 유리식의 분자나 분모의 차수를 낮추는데 이용한다. 전체 분수가 몇 개로 이루어진 분수의 합으로 표시된다. 본질적으로 정수계수의 다항식들은 유클리드 정역(Euclidean domain)이므로 유클리드 호제법을 이용할 수 있다.

[편집]

부분분수로 변형하는 계산은 다양한 계산에서 등장한다. 기교를 잘 익혀두면 쓸모가 많다.

가분수를 대분수로 변형[편집]

분자의 차수가 분모보다 높을 경우 초등학생의 가분수를 대분수로 바꾸는 계산과정과 동일한 방법을 통해 분자의 차수를 낮출 수 있다. 즉, 다음과 같은 분수

\frac{f(x)}{g(x)}

가 주어졌는데, 분자의 차수가 분모의 차수보다 높아서 f(x) = g(x)Q(x) + R(x)와 같이 나눗셈으로 표현가능하다면, 이 분수는 다음과 같이 바꿀 수 있다.

Q(x) + \frac{R(x)}{g(x)}

다항식의 나눗셈에 의해 당연히 R(x)g(x)보다 차수가 낮다.

분자의 차수가 낮은 경우[편집]

분자의 차수가 낮다고 하더라도, 여러가지 방법으로 부분분수로 분해가능하다. 특히 분모가 일차식들의 곱의 형태로 표현될 경우 어렵지 않게 분해할 수 있다. 즉, 다음과 같이 분해된다.

\frac{f(x)}{(a_1 x+b_1)(a_2 x+b_2) \cdots (a_n x+b_n)} = \frac{A_1}{a_1 x+b_1} + \frac{A_2}{a_2 x+b_2} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+b_n}

여기서 A_1, .... , A_n는 모두 항등식의 미정계수로서 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 다음과 같은 예를 보자.

\frac{x+3}{x^2-3x-40}

위와 같이 주어진 유리식을 관찰해보면 분모가 (x-8)(x+5)로 일차식의 곱의 형태로 인수분해됨을 알 수 있다. 그리하여 다음과 같이 전개가능하다.

{x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}

여기서 A, B는 정해지지 않은 계수, 즉 미정계수인데, 이는 항등식의 미정계수법을 통해 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 비교하거나(계수비교법), 적당한 상수를 대입하여 그 수치값을 비교하는(수치대입법) 방법 등을 동원하면 된다. 그리하여 A = 11/13, B = 2/13임을 확인할 수 있다.

유용한 공식[편집]

고교 수학 시험에도 흔히 등장하는 공식으로 다음과 같은 식이 있다.

\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)

좌변의 분수가 우변의 부분분수로 분해된다. B - A가 단순할 때 유용하다. 예를 들어 다음과 같이 분해된다.

\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}

비슷하게, 다음과 같은 공식을 활용할 수 있다.

\frac{1}{A \cdot B \cdot C} = \frac{1}{C-A}\left(\frac{1}{A \cdot B} - \frac{1}{B \cdot C} \right)

분모의 인수분해 되지 않는 다항식[편집]

분모에 더 이상 인수분해 되지 않는 다항식이 있을 때도 부분분수로 분해되는 경우가 있다. 예를 들어 분모가 삼차식이고 분자가 이차식 이하인 경우, 다음과 같이 분해된다.

\frac{ax^2 + bx + c}{(dx + e)(fx^2 + gx + h)} = \frac{A_1}{dx + e} + \frac{A_2 x + A_3}{fx^2 + gx + h}

예를 들어 다음과 같다.

{10x^2+12x+20 \over x^3-8}

이 경우 인수분해 공식에 의해 분모가 x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)와 같이 분해됨을 즉시 파악할 수 있다. 그리하여,

{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}

위와 같이 변형된다. 여기서 A, B, C도 마찬가지로 미정계수이며, 다양한 방법으로 메꿀 수 있다. 계산해보면 차례로 7,3,4가 나오므로,

{10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}

위와 같은 등식이 성립하게 된다.

분모의 거듭제곱된 항의 포함[편집]

분모에 거듭제곱된 일차항이 포함될 경우 다음과 같이 계산된다. 예를 들어,

{p(x) \over (x+2)(x+3)^5}

와 같은 식일 경우 다음과 같은 방법으로 부분분수를 설정해야 한다.

{A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}

이를 응용하여 다음과 같이 거듭제곱된 이차항을 포함한다고 하자.

{p(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}

그러면 미정계수를 포함하는 분자는 모두 일차식이 된다.

{A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5}

응용[편집]

부분분수로 분해하는 계산은 다양한 곳에서 응용될 수 있다.

계산하기 어려운 값[편집]

가장 유명한 예로 다음 주어진 일련의 분수식을 간단히 만드는 데 응용할 수 있다.

\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}
= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}
= \frac{1}{x} - \frac{1}{x+4}

적분하기 어려운 함수[편집]

다음과 같은 함수는 직접 적분하기 어렵다.

\int \frac{2}{x^2 - 1} dx

그러나 다음과 같이 부분 분수로 변형하여 쉽게 적분할 수 있다.

\int \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} dx = \ln |x - 1| - \ln |x + 1| + C

물론 C는 적분상수(Constant of integration)이다.

무한급수의 일반항[편집]

다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.

\frac{2-x}{(1-x)^2} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots

이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.

\frac{2-x}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2}

이 때, 다음 등식을 이용한다.

\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \frac{d}{dx}\sum x^n = \sum (n+1)x^n

그리하여 다음을 얻는다.

\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} = \sum x^n + \sum (n+1)x^n = \sum (n+2)x^n

역 라플라스 변환[편집]

라플라스 변환(Inverse Laplace transform)이 어려운 미분방정식을 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 미분방정식이 있다고 하자.[1]

\frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y = e^{3t} ;\; y(0) = 1, y'(0) = 0

양변에 라플라스 변환을 취해 다음의 등식이 된다.

s^2 Y(s) - s - 3[sY(s) - 1] + 2Y(s) = \frac{1}{s-3}

그리하여 이를 Y(s)에 대해 정리하면 다음 등식이 성립한다.


\begin{align}
Y(s) &= \frac{1}{(s-3)(s^2 -3s +2)} + \frac{s-3}{s^2 -3s +2}\\
 & = \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} + \frac{s-3}{(s-1)(s-2)}
\end{align}

그런데 이 두 항은 직접 역 라플라스 변환을 취하기에 너무 어렵다. 다음과 같이 모두 부분분수로 쪼갤 수 있다.


\begin{align}
Y(s) & = \frac{1}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} + \frac{2}{s-1} - \frac{1}{s-2}\\
 & = \frac{5}{2} \frac{1}{s-1} - \frac{2}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3}
\end{align}

그리하여 해는 다음과 같이 된다.

y(t) = \frac{5}{2}e^t - 2e^{2t} + \frac{1}{2}e^{3t}

주석[편집]

  1. Braun, Martin (1992). 《Differential Equations and Their Applications》. Springer-Verlag, 230~231쪽. ISBN 978-0-387-97894-9