발산 (벡터)

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미적분학
v  d  e  h

벡터 미적분학에서 발산(發散) 또는 다이버전스(Divergence)는 벡터장이 정의된 공간의 한 점에서의 장이 퍼져 나오는지, 아니면 모여서 없어지는지의 정도를 측정하는 연산자이다. 예를 들어 마개를 열어 물이 빠지고 있는 욕조 안의 물의 각 지점에서의 물의 속도로 주어지는 벡터장의 경우, 물이 빠지는 마개가 있는 지점의 다이버전스 값은 음이 된다.(이때 물이 빠지는 하수구 방향의 속도는 생각지 않고 물이 마개지점에서 사라진다고 생각하자.) 그리고 그 이외의 지점에서의 발산 값은 물이 갑자기 생기거나 없어지지 않으므로 0이 된다.

정의[편집]

다이버전스는 부피에 비해 작은 영역의 표면을 지나는 벡터장의 순흐름의 미분이라고 볼 수 있다. 즉,

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = 
\lim_{V \rightarrow 0}
\iint_{S(V)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \over V } \; dS

여기서 VR3에서 점 p를 포함하는 임의의 부피가 되고, S(V)는 주어진 부피의 표면적이 된다.

직교좌표계에서의 응용[편집]

x, y, z 가 3차원 유클리드 공간을 나타내는 직교 좌표계라 하고, i, j, k를 각각에 해당하는 단위벡터라고 하자.

연속이고 미분가능한 벡터장이

F = Fx i + Fy j + Fz k

으로 정의되어 있을 때, 벡터장의 발산은 각 지점에서 다음과 같은 스칼라 값을 갖는 스칼라 함수가 된다.

\operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}

발산은 또한  \nabla \cdot \mathbf{F} 으로 많이 쓰고, 나블라 연산자(혹은 델 연산자, \nabla)와 벡터장 사이의 도트는 벡터 간의 내적을 연상시키기 때문에  \nabla 를 하나의 벡터로 보고 각 성분을 좌표의 편미분으로 생각하면 정의와 부합한다.

같이보기[편집]