로피탈의 정리

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로피탈의 정리(l'Hôpital's rule, 또는 l'Hospital's rule)은 해석학 및 미적분학에서 사용되는 함수의 극한에 관한 정리의 하나이다. 함수의 도함수를 사용하여, 부정형(不定形)의 극한값을 계산하는 데 이용된다.

이 정리의 이름은 17세기에 활동하였던 프랑스의 수학자이자 후작인 기욤 드 로피탈(Guillaume de l'Hôpital)의 이름에서 유래되었다. 로피탈은 그의 저서인 l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes('곡선을 이해하기 위한 무한소 해석')[1]에서 이 정리를 소개하였다.

이 정리는 베르누이의 규칙(Bernoulli's rule)이라는 이름으로 불리기도 한다.[2]

목차

[편집] 정리

[편집] 개략적 표현

만약 두 함수 f(x) , g(x) 가 x = c 에서 미분 가능하고,

\lim_{x \to c}f(x) = \lim_{x \to c}g(x) = 0

이거나

\lim_{x \to c}f(x) = \lim_{x \to c}g(x) = \infty

이라면 다음의 식이 성립한다.

\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

(여기서 '(프라임) 표시는 해당 함수의 도함수를 의미한다)

또한 이 식은 c가 무한대일 경우, 즉 \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} 일 때에도 성립한다.

[편집] 엄밀한 표현

확장된 실수 \mathbb{R}^*상의 구간 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능한 함수 f(x) , g(x)가 있다. c \in \mathbb{R}^*라 하고, 이 때 아래의 함수 f , g 의 c로의 극한의 값이 0이거나

\lim_{x \rightarrow c} f(x) = \lim_{x \rightarrow c} g(x) = 0

모두 발산하고

\lim_{x\to c}{|f(x)|} = \lim_{x\to c}{|g(x)|} = \infty

아래의 극한

\lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = A, A \in \mathbb{R}^*

의 값 A가 확장된 실수상에서 존재하면, 아래의 극한값은 A와 같다.

\lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)} = \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}

[편집] 예제

예를 들어, \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1

[편집] 주석

  1. ↑ 야후!백과사전의 '미분적분학' 설명 등에서 이 저서의 한국어 명칭을 다음과 같이 쓰고 있어 이를 채용한다.
  2. ↑ Howard Eves (이우영, 신향균 옮김) [1995]. 수학사. 경문사, 392 “우리가 알고 있는 바와 같이 로피탈 후작이 요한의 면밀한 재정적 동의 아래 1696년 최초의 미적분학 교재를 만든 것은 바로 그의 자료였다. 잘 알려진 0/0꼴의 부정형의 계산법이 후에 미적분학 책에서 로피탈의 정리로 잘못 알려지게 된 것은 바로 이러한 과정에서였다.” [1]
원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC’