로피탈의 정리

로피탈의 정리(l'Hôpital's rule, 또는 l'Hospital's rule)은 해석학 및 미적분학에서 사용되는 함수의 극한에 관한 정리의 하나이다. 함수의 도함수를 사용하여, 부정형(不定形)의 극한값을 계산하는 데 이용된다.

이 정리의 이름은 17세기에 활동하였던 프랑스의 수학자이자 후작인 기욤 드 로피탈(Guillaume de l'Hôpital)의 이름에서 유래되었다. 로피탈은 그의 저서인 《곡선을 이해하기 위한 무한소 해석》(l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes)에서 이 정리를 소개하였다.

이 정리는 베르누이의 규칙(Bernoulli's rule)이라는 이름으로 불리기도 한다.

정리

개략적 표현

만약 두 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 가 $x=c$ 에서 미분 가능하고,

$\lim_{x \to c}f(x) = \lim_{x \to c}g(x) = 0$

이거나

$\lim_{x \to c}f(x) = \pm \lim_{x \to c}g(x) = \pm \infty$

이면서 다음 극한이 존재한다면

$\lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = L$

다음의 식이 성립한다.

$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = L$

(여기서 '(프라임) 표시는 해당 함수의 도함수를 의미한다)

또한 이 식은 c가 무한대일 경우, 즉 $\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$일 때에도 성립한다.

엄밀한 표현

확장된 실수 $\mathbb{R}^*$상의 구간 $(a, b)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$ , $g(x)$가 있다. c는 이 구간에 속하거나 그 끝점 중 하나라 하자. 또, 임의의 점 x에서 $g(x) \ne 0 \ne g'(x)$ 라 하자. 이때 아래의 함수 $f$ , $g$ 의 c로의 극한의 값이 0이거나

$\lim_{x \rightarrow c} f(x) = \lim_{x \rightarrow c} g(x) = 0$

모두 정발산하고

$\lim_{x\to c}{|f(x)|} = \lim_{x\to c}{|g(x)|} = \infty$

아래의 극한

$\lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = A, A \in \mathbb{R}^*$

의 값 A가 확장된 실수상에서 존재하면, 아래의 극한값은 A와 같다.

$\lim_{x\to c}{f(x) \over g(x)} = \lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}$

예제

좀 더 기술적인 계산에 대해서는 :en:L'Hôpital's rule#Examples 문서를 참고하십시오.

예를 들어, $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1$

극한 존재의 필요성

다음 극한이 존재한다는 조건이 필수적이다.

$\lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = L$

미분된 함수의 극한이 존재하지 않을 경우 로피탈의 정리를 적용할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어, $f(x) = x + \sin x, \;g(x) = x$일 경우,

$\lim_{x\to \infty} {f'(x) \over g'(x)} = \lim_{x\to \infty} {{1 + \cos x} \over 1}$

의 값은 존재하지 않지만, 다음 극한은 존재한다.

$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right) = 1$

복소함수의 경우

복소변수 함수의 경우 일반적인 로피탈의 정리를 적용할 수 없다. 예를 들어 $0<x<1$에서 정의된 함수 $f(x) = x, g(x) = x + x^2 e^{i/x^2}$의 경우, 모든 실수 t에 대해 $|e^{it}| = 1$ 이므로

$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$

가 되지만,

$g'(x) = 1 + \left(2x - \frac{2i}{x}\right) e^{i/x^2}$

이므로

$|g'(x)| \ge \left|2x - \frac{2i}{x}\right| - 1 \ge \frac{2}{x} - 1$ (삼각 부등식)

이므로

$\left|\frac{f'(x)}{g'(x)}\right| = \left|\frac{1}{g'(x)}\right| \le \frac{x}{2-x}$

가 되어 x를 영으로 보내는 값은 영이 된다.

복소변수 함수의 경우 로피탈의 정리가 적용 가능하기 위해서는 f'와 g'의 값이 존재해야 한다는 강한 조건을 만족해야 한다. 즉, 복소변수 함수에서 성립하는 로피탈의 정리는 다음과 같다.

• 복소함수 f와 g가 a에서 해석적이라 하자. f(a) = 0 = g(a)이지만 g'(a) ≠ 0, 또는 f(a) = ±∞ = g(a)이면, 다음이 성립한다.
• $\lim_{z \to a} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}.$

극한 근처에서 심하게 진동할 때

실변수 함수의 경우라 하더라도, 함수가 극한 근처에서 심하게 진동할 경우 로피탈의 정리를 적용할 수 없다. 예를 들어 $f(x) = x + \cos x \sin x,\;g(x) = e^{\sin x}(x + \cos x \sin x)$인 경우, 두 함수 모두 x가 무한대로 이동할 때, 함수값이 무한대로 발산한다. 그리고 그 비의 극한값은 1/e와 e사이에 유계를 가지며 진동한다. 그러나 각각을 미분한 함수의 극한(f'/g')은 영에 수렴한다.

이 사례는 엄밀히 말해 로피탈의 정리에 대한 반례는 아니며, 함수가 과도하게 진동하여 로피탈의 정리가 성립하기 위한 조건 중 하나인 $g'(x) \ne 0$ 을 충족하지 못하는 사례이다.

슈톨츠-체사로 정리

이 부분의 본문은 슈톨츠-체사로 정리입니다.

일반적인 함수의 극한 계산에 이용되는 로피탈의 정리와 달리, 수열의 극한 계산에만 사용되는 로피탈의 정리의 유사 형태로 슈톨츠-체사로 정리가 있다.

같이 보기

• 슈톨츠-체사로 정리
• 샌드위치 정리