다항식의 미적분

수학에서 다항식의 미적분은 다음과 같이 매우 간단한 규칙을 따른다.

$\frac{d}{dx} \sum^n_{k=0} a_k x^k = \sum^n_{k=0} ka_kx^{k-1}$

$\int \sum^n_{k=0} a_k x^k\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1} + C$

예를 들자면, $x^{100}$ 의 미분은 $100x^{99}$이 되며, 부정적분은 $\frac {x^{101}} {101} + C$ 가 된다.

단항식의 미적분 법칙

자연수 $n$에 대해 다음 등식이 성립한다.

$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}.$

$\int\! x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

이는 미분의 정의를 통해 자연스럽게 유도할 수 있다.

다항식의 미적분 법칙

미분은 선형성(linearity)을 갖기 때문에, 다음과 같이 단항식의 미분을 이용해 다항식을 미분한 결과를 쉽게 얻을 수 있다.

$\left( \sum_{r=0}^n a_r x^r \right)' = \sum_{r=0}^n \left(a_r x^r\right)' = \sum_{r=0}^n a_r \left(x^r\right)' = \sum_{r=0}^n ra_rx^{r-1}.$

마찬가지로 적분도 선형성을 가지므로, 동일하게 각각의 $r$에 대한 $\int x^r dx$만 알면 된다. 즉,

$\int\!\left( \sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1} + c.$

일반화

지수가 실수인 경우도 단항식의 미적분 공식이 성립한다. 즉, 실수 $k$에 대해

$\frac{d}{dx} \left(ax^k\right) = akx^{k-1}$

가 성립한다. 단, 부정적분의 경우 지수가 -1 이 되는 경우만 다음 공식을 따른다.

$\int \! x^{-1}\, dx= \ln x+c,$