이상적분

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적분 구간의 길이가 무한한 경우의 이상적분
함수가 발산하는 경우의 이상적분
미적분학
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이상적분(異常積分, 영어: improper integral)은 구간의 길이가 무한하거나, 혹은 그 구간에서 함수가 발산하는 경우 등, 일반적인 정적분의 정의로는 정의되지 않는 경우에 대한 정적분이다.

이상적분은 일반적으로 더 작은 구간에서의 정적분에 대한 극한으로 정의된다. 예를 들어, \int _a ^\infty f(x) dx는 다음과 같이 정의한다.

\int _a ^\infty f(x) dx = \lim_{c \to \infty} \int _a ^c f(x) dx

마찬가지로

\int _{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{c \to -\infty} \int _c ^b f(x) dx

가 된다.

또한, 발산하는 함수의 경우는 다음과 같이 정의한다.

\int _a ^b f(x) dx = \lim_{c \to b^-} \int _a ^c f(x) dx (x=b에서 발산)
\int _a ^b f(x) dx = \lim_{c \to a^+} \int _c ^b f(x) dx (x=a에서 발산)

이러한 이상적분은 그 극한이 수렴할 경우에만 존재한다고 정의한다.

[편집]

다음 적분은 적분구간이 무한하므로 통상적인 리만 적분으로는 값을 계산할 수 없다.

\int\limits_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx

그러나 리만 적분의 극한값으로 그 값을 정의할 수 있다.

\lim_{b\to\infty} \int\limits_1^b\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right] = 1.

다음과 같은 적분도 함수가 구간내에서 발산하므로 역시 리만 적분으로 계산할 수 없다.

\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.

그러나 적분의 극한값을 이용하여 그 값을 정의할 수 있다.

\lim_{a\to 0^+}\int\limits_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = \lim_{a\to 0^+}\left[2\sqrt{1}-2\sqrt{a}\right]=2,

적분의 수렴성[편집]

극한값이 존재하면 이상적분은 수렴한다. 또한 이상적분이 무한대로 발산하는 경우 또한 존재한다.

\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x}\,dx = \infty.

어떤 이상적분은 특별한 방향없이 발산하는 경우도 있다.

\lim_{b\to\infty}\int_1^b x\sin x\, dx,

위와 같은 적분은 확장된 실수 내에서도 값이 존재하지 않는다.

또한 적분 구간의 양 끝값이 무한인 경우 각각의 독립된 극한을 두 번 취한다. 즉,

\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx = \lim_{a\to -\infty} \lim_{b\to \infty} \int_a^bf(x) \, dx,

함수에 따라서는 이러한 적분구간의 양 끝값이 무한인 경우라도 적분값이 수렴하는 경우도 있다. 예를 들어 가우스 적분(Gaussian integral) \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}이 있다.

이상 적분과 관련된 가장 주요문제는 다음 두 가지이다.

  • 극한이 존재하는가?
  • 극한을 계산할 수 있는가?

첫 번째 질문은 해석학의 문제이다. 두 번째 질문은 미적분학에서 다루지만 종종 복소해석학경로적분법(contour integration)이나 푸리에 해석 등의 고급 기법을 동원하는 경우도 있다.

적분의 종류에 대한 이상적분[편집]

리만 적분이나 다르부 적분(Darboux integral)에서는 적분하려는 구간이 무한한 경우와 함수가 발산하는 경우 모두 적분이 정의되지 않고, 따라서 각각의 경우에 대해 이상적분의 개념이 필요하다.

르베그 적분(Lebesgue integral)의 경우, 리만 적분에서는 이상적분의 개념을 사용해야 하지만 르베그 적분에서는 정의가 가능한 함수가 존재한다. 반대로 리만 적분에서는 정의되는 이상적분이 (이상적분이 아닌) 르베그 적분의 경우는 불가능한 경우도 존재한다.

헨스톡-쿠르츠바일 적분(Henstock–Kurzweil integral)은 이상적분의 사용이 불필요하다.