교대급수판정법

교대급수판정법(Alternating series test, 交代級數判定法)은 교대급수가 수렴할 조건을 제시하는 무한급수의 수렴 판정법이다. 독일의 고트프리트 라이프니츠가 제시하여 라이프니츠 판정법이라 불리기도 한다.

공식화

실수 수열 {a_n}에 대하여, 교대급수판정법은 다음과 같이 쓸 수 있다.

• 만약 {a_n}이 단조감소하여 0으로 수렴하면, 교대급수 $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k$ 는 수렴하고, 수렴값을 s라 할 때 다음 부등식이 성립한다.
• 위 급수의 1항부터 n항까지 부분합 {s_n}에 대하여, $0 < |s_n - s| < a_{n+1}.$

증명

아벨 변환이나 디리클레 판정법을 응용하여 수렴성은 쉽게 증명할 수 있다. 부등식은 다음과 같이 증명한다. 먼저 n이 짝수일 때(n=2m) s_n - s에 대하여,

$0 \le (a_{2m+1} - a_{2m+2}) + (a_{2m+3} - a_{2m+4}) + ... = a_{2m+1} - (a_{2m+2} - a_{2m+3}) - ... \le a_{2m+1}.$

이 성립한다. 반대로 n이 홀수일 때도 마찬가지 기법으로 $0 \ge s_n - s \ge a_{n+1}$ 을 증명할 수 있다.

같이 보기

• 아벨 변환
• 디리클레 판정법

참고 문헌

• 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007.