푸리에 급수

푸리에 급수(Fourier-)는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해하여 해석하는 수학적 기법이다. 가중치 또는 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다. 일반 푸리에 급수는 직교 기저에서 전개한다.

푸리에 급수에서의 계수는 본래 함수보다 조작하거나 해석하기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자공학, 진동해석, 음향학, 광학, 신호처리와 화상처리 그리고 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학자들은 분광기를 통해 별에서 방사하는 빛의 주파수를 분해함으로써 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 사용하고, 통신 공학자들은 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화할 수 있다.

푸리에 급수는 열전도 현상에 많은 기여를 한 프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에의 이름에서 따온 것이다.

정의

푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 Cis 함수들의 급수로 나타낸 것이다. 특히, f(x)가 실수에서 복소수로의 함수로 주기가 2π일 때, 또 모든 유한 구간(finite interval)에서 제곱적분 가능일 때, g_n(n은 모든 정수를 취한다)는

:$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{cis}(-nt) f(t) dt$

이고, 급수 :$\sum_{n=-\infty}^{\infty} g_n \operatorname{cis}(nx)$ 는 measure가 0인 집합이 아닌 임의의 구간에서 f(x)로 수렴한다.

주파수 영역에서는 비주기와 주기 주파수 모두에 푸리에 급수를 사용하여 분해가 가능하기 때문에 기본적으로 사용하는 수학식이기도 하다.

같이보기

• 푸리에 변환
• 조화 해석학
• 장 밥티스트 조제프 푸리에