테일러 급수

테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 미분가능한 어떤 함수를 다항식의 형태로 근사하는 방법이다. 이 이름은 영국의 수학자 브룩 테일러의 이름에서 따온 것이지만, 이것을 브룩 테일러가 처음으로 발견한 것은 아니다.

개요

$n \ge 0$인 정수 $n$에 대하여, 폐구간 $[a, x]$에서 $n$번 미분가능하고 개구간 $(a, x)$에서 $(n+1)$번 미분가능한 함수 $f$는

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,$

로 나타내어질 수 있다. 처음 몇 항까지를 선택함으로써 $x=a$ 주변에서의 $f(x)$의 근사식으로 사용할 수 있는데, 이를 테일러 다항식(Taylor polynomial)이라고 한다. 특히 선형근사는 $n=1$인 테일러 급수로 볼 수 있다.

나머지 항

처음 $n$ 개의 항을 선택한 경우의 나머지 항 ${R_n}(x)$에 대하여

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$

을 만족하는 $\xi\in(a, x)$가 존재한다는 사실이 알려져 있다.

매클로린 급수

$a = 0$인 경우를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 부른다. 이름은 스코틀랜드의 수학자 콜린 매클로린의 이름에서 따온 것이다.

증명

미적분학의 제2 기본정리로부터 $\int_{a}^{x} f'(t)dt=f(x)-f(a)$이다.

이때 위 식을 다음과 같이 변형하자. $\int_{a}^{x} f'(t)dt=\int_{a}^{x} (-1){(-f'(t))}dt$

이제, 이를 이용하여 부분적분을 시행하자.

$-1$을 적분할 함수, $-f'(t)$를 미분할 함수로 잡자. 이때 $f(t)$가 무한번 미분가능하면 부분적분을 무한번 할 수 있으므로 다음과 같이 무한히 시행하여 보면

$\int_{a}^{x} (-1)(-f'(t))dt$

$=\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}$

단, 여기서 -1을 계속 적분할 때 -1의 한 부정적분을 구해서 써주면 되는데, 적분변수 t와 관계없는 값 x를 상수취급하여 x-t를 부정적분으로서 구했다.

이제 위 식을 풀면

$\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}$

$=(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots=f(x)-f(a)$

그러므로, 무한번 미분가능한 함수 f(x)에 대하여

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots$

주요한 매클로린 급수의 예

$\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\!\forall x$

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \quad\!\forall x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \quad\!\forall x$

$\ln (1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\quad\mbox{ for }-1<x \le 1$

같이 보기

• 급수
• 로랑 급수