테일러 급수

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미적분학
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테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 도함수들의 한 점에서의 값으로 계산된 항의 무한합으로 함수를 나타내는 방법이다.

테일러 급수의 개념은 스코틀랜드의 수학자 James Gregory가 발견했고, 1715년에 영국의 수학자 Brook Taylor가 공식적으로 발표했다. 0인 지점에서의 테일러 급수를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라 하는데, 18세기에 테일러 급수의 이 특별한 케이스를 광범위하게 사용되도록 만든 Colin Maclaurin의 이름에서 유래됐다.

정의[편집]

실수 또는 복소수인 a에서 무한히 미분 가능하고 실수 또는 복소수의 값을 가지는 함수 ƒ(x)의 테일러 급수는 멱급수로,

f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3 + \cdots

와 같이 나타낼 수 있다. 좀 더 간단하게 기호 Σ를 이용하여 나타내면

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^n

이고, 여기서 n!은 n계승을, ƒ(n)(a)은 a에서의 n도함수를 말한다. 단, ƒ(0)은 함수 ƒ 자기 자신을, (xa)0와 0!은 1로 정의된다. 특히 a = 0일 때를 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 부른다.

[편집]

모든 다항식의 매클로린 급수는 다항식 자기 자신이다.

(1 − x)−1의 매클로린 급수는 등비급수로

1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

이므로, a = 1에서의 x−1의 테일러 급수는 다음과 같다:

1 - (x - 1) + (x - 1)^2 - (x - 1)^3 + \cdots.

위의 매클로린 급수를 적분하면 ln(1 − x)의 매클로린 급수를 구할 수 있다:

-x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 - \cdots,

그리고 a = 1에서의 ln(x)의 테일러 급수는

(x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 - \frac{1}{4}(x - 1)^4 + \cdots

이고, 더 일반적으로 몇몇 a = x0에서의 ln(x)은 다음과 같다:

\ln(x_0) + \frac{1}{x_0}(x - x_0) - \frac{1}{x_0^2}\frac{(x - x_0)^2}{2} + \cdots.

a = 0에서의 지수 함수 ex의 테일러 급수는

1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\! = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

이다. x에 대한 ex의 도함수는 어차피 자기 자신인 ex이고 e0은 1이므로 위의 전개식은 성립한다.

나머지 항[편집]

처음 n 개의 항을 선택한 경우의 나머지 항 {R_n}(x)에 대하여

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}

을 만족하는 \xi\in(a, x)가 존재한다는 사실이 알려져 있다.

이변수 다항식의 테일러 급수[편집]

이변수 다항식 f(x,y) \in K[x,y](K는 실수 또는 복소수)에 대해서, 각 단항 c x^{k}y^{l}의 차수 \operatorname{deg}(c x^{k}y^{l})를 다음과 같이 정의하자.

\operatorname{deg}(c x^{k}y^{l})= k+l.

여기서 c \in K는 상수이다.

f(x,y) = \sum_{k=0}^{d}\sum_{i=o}^{k}\frac{1}{(k-i)!i!}\left[\frac{\partial ^{k}}{\partial x^{k-i}\partial y^{i}}f(x,y)\right]_{(a,b)}(x-a)^{^{k-i}}(y-b)^{i}

또한 이변수 이상의 다변수 다항식에 대해서도 이와 유사한 방식으로 테일러 급수 표현을 적용할 수 있다.

  • 예) f(x,y) = x^{2}y, f(x,y) = A + B(x-1) + C(y-2) + D(x-1)^2 + E(x-1)(y-2) + F(y-2)^2 + G(x-1)^3 + H(x-1)^2(y-2) + \cdots 이면,
A = f(1,2), D = \frac{1}{2!}\left[\frac{\partial^2 }{\partial x^2}f(x,y)\right]_{(1,2)}, H = \frac{1}{2!}\left[\frac{\partial^3 }{\partial x^2\partial y}f(x,y)\right]_{(1,2)}

여러 변수 테일러 급수[편집]

테일러 시리즈는 또한 둘 이상의 변수의 함수로 일반화 될 수 있다.

 \begin{align} & T(x_1,\dots,x_d)\\ = {} & \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots,a_d) \\ = {} & f(a_1, \dots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) \\ & {} + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\ & {} + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \dots. \end{align}

예를 들어, 두 개의 변수 x, y에 의존하는 함수에 대해 점 (a, b)에 관한 2차식을 위한 테일러 급수는 다음과 같다.

 \begin{align} f(a,b) &+(x-a)\, f_x(a,b) +(y-b)\, f_y(a,b) \\ &+ \frac{1}{2!}\left[ (x-a)^2\,f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)\,f_{xy}(a,b) +(y-b)^2\, f_{yy}(a,b) \right]. \end{align}

여기서 첨자는 각각의 편미분을 나타낸다.

[편집]

함수의 (a, b)=(0, 0)을 중심으로 2차 테일러 급수를 전개한다.

f(x,y) = e^x\log{(1+y)}.

먼저, 우리가 필요한 편미분을 계산하면,

f_x(a,b)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0,
f_y(a,b)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1,
f_{xx}(a,b)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0,
f_{yy}(a,b)=-\frac{e^x}{(1+y)^2}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=-1,
f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1.

테일러 급수는

\begin{align} T(x,y) = f(a,b) & +(xa)\, f_x(a,b) +(yb)\, f_y(a,b) \\ &+\frac{1}{2!}\left[ (xa)^2\,f_{xx}(a,b) + 2(xa)(yb)\,f_{xy}(a,b) +(yb)^2\, f_{yy}(a,b) \right]+ \cdots.\end{align}

따름정리[편집]

f(x,y) \in K[x,y]라고 하자. (K는 실수 또는 복소수) 만약 임의의 y에 대하여 f(a,y) = 0이라 가정하면, (x-a)f(x,y)를 나눈다. (i.e.f(x,y) = (x-a)g(x,y).)

증명[편집]

f(x,y) = A + B(x-a) + C(y-b) + \cdots  + (x-a)^{^{k}}(y-b)^{l}.

이면,

f(a,y) = 0 \Leftrightarrow ((y-b)만으로 표현되는 항들)= 0.
\therefore(x-a)\mid f(x,y).

매클로린 급수[편집]

a = 0인 경우를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 부른다. 급수의 이름은 스코틀랜드의 수학자 콜린 매클로린의 이름에서 따온 것이다.

증명[편집]

미적분학의 제2 기본정리로부터 \int_{a}^{x} f'(t)dt=f(x)-f(a)이다.

이때 위 식을 다음과 같이 변형하자. \int_{a}^{x} f'(t)dt=\int_{a}^{x} (-1){(-f'(t))}dt

이제, 이를 이용하여 부분적분을 시행하자.

-1을 적분할 함수, -f'(t)를 미분할 함수로 잡자. 이때 f(t)가 무한번 미분가능하면 부분적분을 무한번 할 수 있으므로 다음과 같이 무한히 시행하여 보면

\int_{a}^{x} (-1)(-f'(t))dt

=\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}

단, 여기서 -1을 계속 적분할 때 -1의 한 부정적분을 구해서 써주면 되는데, 적분변수 t와 관계없는 값 x를 상수취급하여 x-t를 부정적분으로서 구했다.

이제 위 식을 풀면

\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}

=(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots=f(x)-f(a)

그러므로, 무한번 미분가능한 함수 f(x)에 대하여

f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots

주요한 매클로린 급수의 예[편집]

e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\!\forall x
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots  \quad\!\forall x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots  \quad\!\forall x
\ln (1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\quad\mbox{ for }-1<x \le 1

같이 보기[편집]