테일러 급수

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미적분학
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테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 미분가능한 어떤 함수다항식의 형태로 근사하는 방법이다. 이 이름은 영국의 수학자 브룩 테일러의 이름에서 따온 것이지만, 이것을 브룩 테일러가 처음으로 발견한 것은 아니다.

개요[편집]

n \ge 0인 정수 n에 대하여, 폐구간 [a, x]에서 n번 미분가능하고 개구간 (a, x)에서 (n+1)번 미분가능한 함수 f

f(x)=\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,

로 나타내어질 수 있다. 처음 몇 항까지를 선택함으로써 x=a 주변에서의 f(x)의 근사식으로 사용할 수 있는데, 이를 테일러 다항식(Taylor polynomial)이라고 한다. 특히 선형근사n=1인 테일러 급수로 볼 수 있다.

나머지 항[편집]

처음 n 개의 항을 선택한 경우의 나머지 항 {R_n}(x)에 대하여

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}

을 만족하는 \xi\in(a, x)가 존재한다는 사실이 알려져 있다.

이변수 다항식의 테일러 급수[편집]

이변수 다항식 f(x,y) \in K[x,y](K는 실수 또는 복소수)에 대해서, 각 단항 c x^{k}y^{l}의 차수 \operatorname{deg}(c x^{k}y^{l})를 다음과 같이 정의하자.

\operatorname{deg}(c x^{k}y^{l})= k+l.

여기서 c \in K는 상수이다.

f(x,y) = \sum_{k=0}^{d}\sum_{i=o}^{k}\frac{1}{(k-i)!i!}\left[\frac{\partial ^{k}}{\partial x^{k-i}\partial y^{i}}f(x,y)\right]_{(a,b)}(x-a)^{^{k-i}}(y-b)^{i}

또한 이변수 이상의 다변수 다항식에 대해서도 이와 유사한 방식으로 테일러 급수 표현을 적용할 수 있다.

  • 예) f(x,y) = x^{2}y, f(x,y) = A + B(x-1) + C(y-2) + D(x-1)^2 + E(x-1)(y-2) + F(y-2)^2 + G(x-1)^3 + H(x-1)^2(y-2) + \cdots 이면,
A = f(1,2), D = \frac{1}{2!}\left[\frac{\partial^2 }{\partial x^2}f(x,y)\right]_{(1,2)}, H = \frac{1}{2!}\left[\frac{\partial^3 }{\partial x^2\partial y}f(x,y)\right]_{(1,2)}

여러 변수 테일러 급수[편집]

테일러 시리즈는 또한 둘 이상의 변수의 함수로 일반화 될 수 있다.

 \begin{align} & T(x_1,\dots,x_d)\\ = {} & \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots,a_d) \\ = {} & f(a_1, \dots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) \\ & {} + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\ & {} + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \dots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \dots. \end{align}

예를 들어, 두 개의 변수 x, y에 의존하는 함수에 대해 점 (a, b)에 관한 2차식을 위한 테일러 급수는 다음과 같다.

 \begin{align} f(a,b) &+(xa)\, f_x(a,b) +(yb)\, f_y(a,b) \\ &+ \frac{1}{2!}\left[ (xa)^2\,f_{xx}(a,b) + 2(xa)(yb)\,f_{xy}(a,b) +(yb)^2\, f_{yy}(a,b) \right]. \end{align}

여기서 첨자는 각각의 편미분을 나타낸다.

[편집]

함수의 (a, b)=(0, 0)을 중심으로 2차 테일러 급수를 전개한다.

f(x,y) = e^x\log{(1+y)}.

먼저, 우리가 필요한 편미분을 계산하면,

f_x(a,b)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0,
f_y(a,b)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1,
f_{xx}(a,b)=e^x\log(1+y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=0,
f_{yy}(a,b)=-\frac{e^x}{(1+y)^2}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=-1,
f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)=\frac{e^x}{1+y}\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=1.

테일러 급수는

\begin{align} T(x,y) = f(a,b) & +(xa)\, f_x(a,b) +(yb)\, f_y(a,b) \\ &+\frac{1}{2!}\left[ (xa)^2\,f_{xx}(a,b) + 2(xa)(yb)\,f_{xy}(a,b) +(yb)^2\, f_{yy}(a,b) \right]+ \cdots.\end{align}

따름정리[편집]

f(x,y) \in K[x,y]라고 하자. (K는 실수 또는 복소수) 만약 임의의 y에 대하여 f(a,y) = 0이라 가정하면, (x-a)f(x,y)를 나눈다. (i.e.f(x,y) = (x-a)g(x,y).)

증명[편집]

f(x,y) = A + B(x-a) + C(y-b) + \cdots  + (x-a)^{^{k}}(y-b)^{l}.

이면,

f(a,y) = 0 \Leftrightarrow ((y-b)만으로 표현되는 항들)= 0.
\therefore(x-a)\mid f(x,y).

매클로린 급수[편집]

a = 0인 경우를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 부른다. 급수의 이름은 스코틀랜드의 수학자 콜린 매클로린의 이름에서 따온 것이다.

증명[편집]

미적분학의 제2 기본정리로부터 \int_{a}^{x} f'(t)dt=f(x)-f(a)이다.

이때 위 식을 다음과 같이 변형하자. \int_{a}^{x} f'(t)dt=\int_{a}^{x} (-1){(-f'(t))}dt

이제, 이를 이용하여 부분적분을 시행하자.

-1을 적분할 함수, -f'(t)를 미분할 함수로 잡자. 이때 f(t)가 무한번 미분가능하면 부분적분을 무한번 할 수 있으므로 다음과 같이 무한히 시행하여 보면

\int_{a}^{x} (-1)(-f'(t))dt

=\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}

단, 여기서 -1을 계속 적분할 때 -1의 한 부정적분을 구해서 써주면 되는데, 적분변수 t와 관계없는 값 x를 상수취급하여 x-t를 부정적분으로서 구했다.

이제 위 식을 풀면

\left[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{6}f'''(t)-\cdots\right]_{a}^{x}

=(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots=f(x)-f(a)

그러므로, 무한번 미분가능한 함수 f(x)에 대하여

f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+\cdots

주요한 매클로린 급수의 예[편집]

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\!\forall x
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots  \quad\!\forall x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots  \quad\!\forall x
\ln (1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\quad\mbox{ for }-1<x \le 1

같이 보기[편집]