테일러 급수

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테일러 급수(Taylor series)는 미적분학에서, 미분가능한 어떤 함수를 다항식의 형태로 근사하는 방법이다. 이 이름은 영국의 수학자 브룩 테일러의 이름에서 따온 것이지만, 이것을 브룩 테일러가 처음으로 발견한 것은 아니다.

목차

[편집] 개요

n \ge 0인 정수 n에 대하여, 폐구간 [a,x]에서 n번 미분가능하고 개구간 (a,x)에서 (n + 1)번 미분가능한 함수 f는

f(x)=\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,

로 나타내어질 수 있다. 처음 몇 항까지를 선택함으로써 x = a 주변에서의 f(x)의 근사식으로 사용할 수 있는데, 이를 테일러 다항식(Taylor polynomial)이라고 한다. 특히 선형근사는 n = 1인 테일러 급수로 볼 수 있다.

[편집] 나머지 항

처음 n개의 항을 선택한 경우의 나머지 항 Rn(x)에 대하여

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}

을 만족하는 \xi\in(a, x)가 존재한다는 사실이 알려져 있다.

[편집] 매클로린 급수

a = 0인 경우를 특별히 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 부른다. 이름은 스코틀랜드의 수학자 콜린 매클로린의 이름에서 따온 것이다.

[편집] 주요한 테일러 급수의 예

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\!\forall x
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \quad\!\forall x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \quad\!\forall x
\ln (1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{-(-1)^n}{n} x^{n} = x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\quad\mbox{ for }-1<x \le 1

[편집] 같이 보기

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