삼각수

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삼각수(三角數, triangular number)는 일정한 물건으로 삼각형 모양을 만들어 늘어 놓았을 때, 그 삼각형을 만들기 위해 사용된 물건의 총 수가 되는 수를 말한다.

예를 들어 아래와 같이 네 줄에 걸쳐 삼각형을 만들었을 때 늘어놓은 물건의 총 수는 10개가 되며, 10은 삼각수의 하나가 된다.

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삼각수의 수열은 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ... 과 같고, n 번째의 삼각수 N 은 N = \frac {n(n+1)} 2 으로 나타낼 수 있다. 모든 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합으로 표현할 수 있다는 정리가 있으며, 이는 가우스가 1796년 (가우스의 일기에 따르면 7월 10일)에 증명하였다. 이 정리는 모든 자연수는 최대 n 개의 n 각수의 합으로 표현할 수 있다는 페르마의 다각수정리의 한 경우이다.

[편집] 삼각수의 제곱

  • n번째 삼각수의 제곱은 1의 세제곱부터 n의 세제곱까지의 합과 같다.

[편집] 사면체수

삼각수의 개념을 공간으로 확장하여, 물체를 사면체를 이루도록 공간에 배치했을 때의 물체의 총 수를 사면체수(四面體數, tetrahedral number)라고 한다.

제n 사면체수는 제1 삼각수에서부터 제n 삼각수까지의 합이고, 그 값 N 은 다시 N = \frac {n(n+1)(n+2)} 6 으로 쓸 수 있다.

사면체수를 1항부터 써보면 다음과 같다.

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, ...

나아가 한번 일반화시키면, 삼각수에서 사면체수를 알아낸 것과 마찬가지로 사면체수의 합으로 4차원 공간에서의 삼각수인 5포체수를 정의할 수 있다. 일반 차원의 공간(여기에서는 r 차원)까지 개념의 확장을 실시했을 때, 제n 번째의 그 수 Tr(n)은

T_r(n) = \prod^{r}_{k=1}\left(1+\frac{n-1}{k}\right) = \frac{n(n+1)\cdots(n+r-1)}{r!} = (-1)^{r-1}{-n \choose r}

이다.


[편집] 참고항목

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%EC%88%98’