펠 방정식

펠의 방정식(-의 方程式, 영어: Pell's equation)은 디오판토스 방정식의 하나로, 펠의 방정식을 푼다는 것은 다음과 같은 부정 방정식의 정수해를 구하는 것을 뜻한다.

$x^2-ny^2=1\,$

여기서 $n$은 1보다 크면서 제곱수가 아닌 자연수라고 가정한다. 만약 $n$이 제곱수라면 제곱이 되는 인수와 $y$를 하나로 묶어 생각할 수 있기 때문이다. 이 방정식에 펠의 이름이 붙은 것은 오일러의 착각 탓으로, 최초로 이 방정식의 일반해를 구한 이는 영국의 수학자 브롱커였다. 이 방정식이 자명한 해인 $x=\pm1, y=0$ 외에 무한히 많은 정수해를 갖는다는 것은 라그랑주가 증명하였다.

역사

펠의 방정식은 이미 기원전 수 세기전부터 인도와 그리스에서 연구되었다. 그 이유는 무리수의 근사값을 구하기 위한 것으로, 예를 들어 펠 방정식

$x^2-2y^2=1$

을 이용하면 2의 제곱근($\sqrt{2}$)에 가까운 유리수를 쉽게 구할 수 있다. 이 방정식을 만족하는 정수해 $x, y$에 대해 $x/y$는 $\sqrt{2}$의 근사치가 된다. 기원전 800년 경의 인도 수학자 보다야나Baudhayana)는 위 방정식의 두 해 $x=17, y=12$와 $x=577, y=408$ 을 발견하였고,

$\frac{17}{12} \approx 1.41666 66666, \frac{577}{408} \approx 1.41421 56862$

가 되어 $\sqrt{2} \approx 1.41421 35623$ 에 아주 가깝다. 나중에 아르키메데스도 $\sqrt{3}$ 의 근사값을 구하기 위해 이와 유사한 방법을 사용하여 $\frac{1351}{780}$을 얻었다.

205년 경, 디오판토스는 펠 방정식의 다른 꼴을 떠올렸다.

$a^2 x^2+c=y^2. \,$

그는 이 방정식을 $a=1, c=-1, 1, 12$ 일 때와, $a=3, c= 3$ 일 때에 대하여 풀었다.

풀이 방법

$\tfrac{h_i}{k_i}$를 $\sqrt{n}$의 연분수 꼴 수열을 나타낸다고 하자.