펠 방정식

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n=2인 경우의 펠 방정식

펠 방정식(Pell方程式, 영어: Pell's equation)은 디오판토스 방정식의 하나이다.

정의[편집]

펠 방정식은 다음과 같은, x,y에 대한 디오판토스 방정식이다.

x^2-ny^2=1\qquad x,y\in\mathbb Z^+

여기서 n\in\mathbb Z^+은 제곱수가 아닌 양의 정수이다. 대수적 수론의 용어를 사용하면, 펠 방정식은 이차 수체 \mathbb Z[\sqrt n]에서 노름이 1인 원소들 x+y\sqrt n을 찾는 문제이다.

해법[편집]

펠 방정식의 해법은 두 단계로 나뉜다.

  1. 주어진 n에 대하여, x_1이 최소인 해 (x_1,y_1)을 구한다. 이 해를 기본해(영어: fundamental solution)라고 한다.
  2. 기본해로부터 다른 모든 해들을 계산한다.

기본해의 계산[편집]

펠 방정식의 기본해는 다음과 같이 계산할 수 있다. 우선

\frac xy\left(1-1/2x^2-1/8x^4-1/16x^6-\cdots\right)=\sqrt{x^2-1}/y=\sqrt n

이므로, x/y\sqrt n을 근사하는 것을 알 수 있으며, 그 오차는 (x>1이라면)

0<x/y-\sqrt n=\frac{x-\sqrt{x^2-1}}y<1/y

이다. 따라서, x/y\sqrt n의 최적 유리 근사이다. 따라서, 기본해는 \sqrt n연분수 전개를 계산하여, 이를 주어진 차수에서 절단한 유리 근사들을 계산한 뒤, 이들이 펠 방정식을 만족시키는지 시험하여 얻을 수 있다.

추가 해의 계산[편집]

펠 방정식의 기본해 (x_1,y_1)이 주어지면, 나머지 해 (x,y)는 모두 다음과 같은 꼴로 주어진다.

x_k+y_k\sqrt n=(x_1+y_1\sqrt n)^k

즉, 다음과 같은 점화식에 의하여 주어진다.

x_{k+1} = x_1 x_k + n y_1 y_k
y_{k+1} = x_1 y_k + y_1 x_k

역사[편집]

펠 방정식은 이미 기원전 수 세기전부터, 무리 제곱근의 유리 근삿값을 구하기 위하여 널리 연구되었다.

인도 수학[편집]

기원전 800년 경의 인도 수학자 바우다야나(산스크리트어: बौधायन)는 《바우다야나 슐바 수트라》(산스크리트어: बौधायन शुल्ब सूत्र) 61절~62절에서 \sqrt2에 대하여 다음과 같은 유리 근삿값을 언급한다.

정사각형의 두 배. 길이를 1/3만큼 증가시키고, 1/4만큼 증가시키고, 1/34만큼 감소시킨다. 이것이 대각선의 길이다.

समस्य द्विकरणी प्रमाणं तृतीयेन वर्धयेत्
तच् चतुर्थेनात्मचतुस्त्रिंशोनेन सविशेषः

즉, 다음과 같은 근삿값이다.

\sqrt2\approx1+\frac13+\frac1{3\cdot4}-\frac1{3\cdot4\cdot34}=\frac{17}{12}-\frac1{3\cdot4\cdot34}=\frac{577}{408}

이 근삿값들은 n=2 펠 방정식으로부터 유도된 것으로 추측된다. 즉, n=2 펠 방정식의 해

(x,y)=(17,12)
(x,y)=(577,408)

로부터 유도된 것이다.

기원후 7세기의 브라마굽타는 628년 경 출판된 책 《브라마스푸타시단타》(산스크리트어: ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त)에서, 오늘날 브라마굽타 항등식이라고 불리는 공식을 사용하여 펠 방정식의 해에 대한 점화식을 발견하였다. 12세기의 바스카라 2세(산스크리트어: भास्कराचार्य, 1114–1185)는 1150년에 일반적인 n에 대한 펠 방정식의 일반해를 유도하였고, 이를 사용하여 n=61인 경우의 해

x=1766319049,y=226153980

를 제시하였다.

그리스와 아랍 수학[편집]

기원전 3세기에, 아르키메데스n=3 펠 방정식을 사용하여 3의 제곱근에 대한 다음과 같은 유리 근삿값을 얻었다.

\sqrt3\approx\frac{1351}{780}

기원후 205년 경에 디오판토스는 다음과 같은 디오판토스 방정식을 고려하였다.

 a^2 x^2+c=y^2

그는 이 방정식을  a=1, c=-1, 1, 12 일 때와,  a=3, c= 3 일 때에 대하여 풀었다. 기원후 10세기 페르시아의 수학자 알카라지(페르시아어: ابوبکر کرجی)는 디오판토스의 기법을 바탕으로 하여 펠 방정식에 대한 연구를 계속하였다.

유럽 수학[편집]

유럽 수학에서 펠 방정식의 일반해는 17세기 영국의 윌리엄 브롱커가 최초로 발견하였다. 브롱커의 해법이 옳고, 이 해법으로 모든 해를 구할 수 있다는 것은 조제프루이 라그랑주가 1766년~1769년 동안 증명하였고, 펠 방정식이 항상 무한히 많은 해를 가진다는 것을 증명하였다.

"펠 방정식"이라는 이름은 영국의 수학자 존 펠(영어: John Pell, 1611 – 1685)의 이름을 딴 것이다. 펠은 펠 방정식과 별다른 관계가 없으나, 레온하르트 오일러가 1759년에 펠과 브롱커의 이름을 혼동하여 잘못 이름붙였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (라틴어) Euler, Leonhard (1767년). De vsv novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo. 《Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae》 11: 29–66.

바깥 고리[편집]