코시 응집판정법

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
미적분학
v  d  e  h

코시 응집판정법(-凝集判定法, 영어: Cauchy condensation test)은 무한급수수렴 판정법 중 하나로, 어떤 급수의 수렴 판정을 위해 수렴성이 그와 동치인 다른 급수를 유도하는 기법이다. 판정법 중에서는 고급에 속한다. 프랑스수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙어 있다.

공식화[편집]

코시 응집판정법은 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1] {an}이 음이 아닌 실수의 단조감소하는 수열이라고 하자. 즉, 임의의 자연수 n에 대해 an ≥ 0 , an ≥ an+1 . 그러면 다음 명제가 성립한다.

  • \textstyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k가 수렴할 필요충분조건\textstyle\sum_{k=0}^{\infty} 2^ka_{2^k}가 수렴하는 것이다.
  • 더 나아가, 두 급수가 수렴하는 경우 다음 부등식이 있다.
    \sum_{n=1}^{\infty}f(n)\le\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})\le 2\sum_{n=1}^{\infty}f(n)

증명[편집]

먼저 부등식

\sum_{k=1}^{2^{n+1}-1}a_k\le\sum_{k=0}^n2^ka_{2^k}\le 2\sum_{k=1}^{2^n}a_k

를 아래와 같이 {an}이 음이 아닌 단조감소수열인 것을 이용해 증명한다.

\begin{array}{cccccccccl}
    &    a_1    & + & (a_2+a_3) & + & (a_4+a_5+a_6+a_7) & + & \cdots && (1) \\
\le &    a_1    & + & (a_2+a_2) & + & (a_4+a_4+a_4+a_4) & + & \cdots && (2) \\
\le & (a_1+a_1) & + & (a_2+a_2) & + & (a_3+a_3+a_4+a_4) & + & \cdots && (3) \\
\end{array}

(1), (2), (3) 식은 각각 증명하려는 부등식 내의 첫째, 둘째, 셋째 급수와 같다. (1), (2), (3) 식의 항의 개수가 모두 2n+1-1 개로 같기 때문에[2], 그리고 같은 열에 있는 괄호 안의 항들의 합이 위에서 아래로 커지기 때문에(예를 들어 셋째 열에서 a4+a5+a6+a7 ≤ a4+a4+a4+a4 ≤ a3+a3+a4+a4), 위의 증명은 합리적이다.

판정법의 증명으로 돌아와서, \textstyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k\textstyle\sum_{k=0}^{\infty} 2^ka_{2^k} 둘 중의 한 급수가 수렴한다면, 그 급수의 부분합은 자연히 유계이므로, 증명한 부등식에 의해 나머지 한 급수의 부분합도 유계이다. 또한, 두 급수의 부분합은 모두 단조증가한다. 단조 수렴 정리에 의하여 나머지 한 급수도 수렴한다.

부등식 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\le\textstyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})\le 2\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)은 이미 증명한 부분합에 관한 부등식에 극한을 취하여 얻어진다.

[편집]

  • n이 an의 분모에 있는 경우에 유용하다. 그 전형적인 예로, 조화급수 \textstyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n의 수렴 여부는 \textstyle\sum 1가 발산함에 따라 쉽게 드러난다.

일반화[편집]

주석[편집]

  1. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976, pp. 61-62.
  2. (3) 식은 한 항 더 많으나 증명에 영향은 없다.

참고 문헌[편집]

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.

바깥 고리[편집]