단조수렴정리

단조수렴정리는 단조증가하거나 단조감소하는 수열이 특정한 조건에 대해 수렴하는 것에 대한 정리이다. 여러 경우에 대한 단조수렴정리가 존재하며, 예를 들어 실수열 실수열 급수, 혹은 측도 수열 등에 대한 정리가 각각 존재한다.

실수 단조수열의 수렴

만약 a_k이 실수로 이루어진 단조수열(예를 들어 만약 a_k ≤ a_k+1일 때)이라면, 이 수열은 극한값(양의 무한, 음의 무한 포함)을 갖는다. 극한값이 유한할 필요충분조건은 이 수열이 유계여야한다.

증명

위로 유계인 단조증가수열 $\langle a_n \rangle$에 대하여 증명하자. 이때 수열은 수렴하고 극한값은 $\sup_n \{a_n\}$이다.

$\{ a_n \}$이 공집합이 아니고 위로 유계이므로, 이 집합은 실수의 최소상계 성질에 의하여 $c = \sup_n \{a_n\}$이 존재하고 이는 그 값은 유한이다. 모든 $\varepsilon > 0$에 대하여, $a_N > c - \varepsilon$을 만족하는 $a_N$이 존재한다. 만약 존재하지 않는다고 하면 $c - \varepsilon$이 $\{ a_n \}$의 상계가 되어야하는데 이는 $c = \sup_n \{a_n\}$라는 것과 모순이다. $\langle a_n \rangle$이 증가수열이므로, $\forall n > N$에 대해 $|c - a_n| = c - a_n \leq c - a_N < \varepsilon$가 성립하고, 정의에 의해 $\langle a_n \rangle$의 극한값은 $\sup_n \{a_n\}$이 된다. $\Box$

같은 방식으로 실수로 이루어진 아래로 유계인 단조감소수열에 대해서도 생각하면, 이 수열의 하계가 극한값이 된다는 사실을 알 수 있다.

단조 급수의 수렴

자연수 j, k에 대하여, a_j,k가 음이 아닌 실수이고, a_j,k ≤ a_{j+1 ,k} 이면, 다음 식이 성립한다.

$\lim_{j\to\infty} \sum_k a_{j,k} = \sum_k \lim_{j\to\infty} a_{j,k}$

르베그 단조수렴정리

이 정리는 앞에서 언급한 정리를 보다 일반화 한 것이며, 단조수렴정리들 중에서도 가장 중요한 정리중 하나이다. 정리의 이름은 앙리 르베그에서 유래하였으며, 베포 레비 정리로도 불린다. 이 정리는 다음과 같다.

μ를 측도라고 하자. 만약 f, f₁, f₂, ... 가 μ-측도가능하며 $[0,\infty]$에서 값을 갖는 함수이고, 각각의 k 와 x에 대하여 f_k(x) ≤ f_k+1(x)이 성립하고,

$\lim_{k\to\infty} f_k=f$ (μ 측도 기준으로 거의 모든 곳에서)

이 성립할 때,

$\lim_{k\to\infty} \int f_k d\mu = \int f d\mu$

이 성립한다.

증명 1

모든 n에 대하여 $0\leq f_n \leq f_{n+1}$이므로

$\int f_n \leq \int f_{n+1}$

이 성립하고,

$\lim_{k\to\infty} f_k=f$이므로, 모든 n에 대하여

$\int f_n \leq \int f$

이 성립한다.

(0,1) 사이의 고정값을 갖는 $\alpha$와, $0 \leq \Phi \leq f$를 만족하는 단순 함수 $\Phi$에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

$E_n = \{x | f_n (x) \geq \alpha \Phi (x) \}$

이처럼 정의하면, $E_n$는 측정 가능한 집합들의 증가 수열이고, $\cup E_n$는 함수의 정의역 전체가 된다. 또한 다음 식이 성립한다.

$\alpha \int_{E_n}{\Phi} \leq \int_{E_n} f_n \leq \int f_n$

따라서

$\lim \int_{E_n}{\Phi} = \int \Phi$

가 성립하고, $\Phi \leq f$이 성립하므로,

$\lim \int {f_n} \geq \alpha \int{f} \geq \alpha \int{\Phi}$

이 성립한다는 것을 알 수 있다. 위의 부등식이 모든 $\alpha < 1$에 대해서 성립하므로,

$\lim \int {f_n} \geq \int{f}$

가 성립한다. 따라서 $\lim \int {f_n} = \int{f}$이 성립한다.

증명 2

{f_k}_{k ∈ N}가 음이 아닌 측정 가능한 함수들의 감소하지 않는 수열인 경우,

$f = \sup_{k \in \mathbb{N}} f_k$

를 대입하면, 르베그 적분의 단조성에 의해서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$\int f d \mu \geq \lim_k \int f_k d \mu$

또한, 수열이 단조수열이기 때문에, 우변의 극한값이 존재한다.

이제 반대방향의 부등식을 파투의 보조정리를 사용하여 증명할 수 있다.

$\int f d \mu \leq \lim_k \int f_k d \mu.$

적분의 정의로부터, 함수 f로 점마다 유계열인 음이 아닌 단순 함수의 수열 {g_n}이 존재한다는 사실을 알 수 있다. 이때 {g_n}은 다음과 같은 성질도 만족하여야 한다.

$\lim_k \int g_k d \mu = \int f d \mu.$

따라서, k ∈ N인 경우에 대해서만 증명하면 된다.

$\int g_k d \mu \leq \lim_j \int f_j d \mu.$

g가 단순 함수인 경우,

$\lim_j f_j(x) \geq g(x)$

가 거의 모든 곳에서 성립하고, 이때

$\lim_j \int f_j d \mu \geq \int g d \mu$

가 성립한다. g가 단순함수이므로 그 값이 일정한 집합만 생각한다면, 해당 집합의 정의함수로 생각할 수 있다. 따라서 다음을 증명하면 원래의 명제를 증명하는 것과 동치가 된다.

A를 측정가능한 집합이라 하고, {f_k}_{k ∈ N}가 E에서의 감소하지 않는 측정가능함수의 수열이라고 하자. 이때 이 수열은 거의 모든 x ∈ A에 대하여 다음 조건을 만족하는 것이어야 한다.

$\lim_n f_n (x) \geq 1$

그러면

$\lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A)$

이 성립한다.

이를 증명하기 위해서는 ε > 0을 고정시켜놓고 측정가능집합들의 수열을 다음과 같이 정의한다.

$B_n = \{x \in A: f_n(x) \geq 1 - \epsilon \}$

적분의 단조성에 의하여, 모든 n ∈ N에 대해 다음 식이 성립한다.

$\mu(B_n) (1 - \epsilon) = \int (1 - \epsilon) 1_{B_n} d \mu \leq \int f_n d \mu$

가정에 의해

$\bigcup_i B_i = A$

가 성립하고, 측도의 가측가산성질(countable additivity)에 의해 다음 식이 성립한다.

$\mu(A) = \lim_n \mu(B_n) \leq \lim_n (1 - \epsilon)^{-1} \int f_n d \mu.$

이 식이 임의의 양수 ε에 대해 성립하므로,

$\lim_n \int f_n d\mu \geq \mu(A)$

가 성립함을 알 수 있다.

관련 항목

• 무한 급수
• 지배수렴정리
• 볼차노-바이어슈트라스 정리