치환적분

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미적분학
v  d  e  h

치환적분은 적분하고자 하는 식의 변수를 다른 변수로 치환할 때 적분의 형태가 어떻게 변하는지를 말해주는 공식이다.

마치 언뜻 보기에는 어려워보이는 방정식 x^3+3x^2+3x+3=0x에 관해 풀 때 새로운 변수 y=x+1을 도입하여 y^3+2=0라는 좀 더 풀기쉬운 방정식을 대신 풀면 되듯이 어떤 식을 적분할 때에도 변수를 잘 바꿔줌으로써 좀 더 적분하기 쉬운 형태의 식을 대신 적분하자는 것이 치환적분의 아이디어이다.

공식 : 부정적분 꼴[편집]

함수 f:A\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}g:B\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}g\left( B\right)\sub A이며 fg\left( B\right)에서 연속일때


\int f(g(t)) g'(t) \,dt = \int f(x)\,dx

이때 x=g\left( t\right)이다.

증명[편집]

함수 f역도함수F라 하자. 연쇄법칙에 의하여 \frac{d}{dt}\left[ F\left( g\left( t\right)\right)\right] =F'\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right)이므로 x=g\left( t\right)로 치환을 한다면 \int F'\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right) dt=F\left( g\left( t\right)\right) +C=F\left( x\right) +C=\int F'\left( u\right) du이다. F'=f이므로 \int f(g(t)) g'(t) \,dt = \int f(x)\,dx이다.

간단한 꼴[편집]

치환적분을 할 때 x=g\left( t\right)치환을 한다면 \frac{dx}{dt}=g'\left( t\right)이므로 미분소개념을 이용하면 g'\left( t\right) dt=du이다. 그리고 이를 그냥 적분에 대입시켜주면 된다. 즉 \int f\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right) dt=\int f\left( x\right) dx이다.[1]

공식 : 정적분 꼴[편집]

함수 f:A\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}g:B\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}g\left( B\right)\sub A이고 fg\left( B\right)에서 연속이며 g'B에서 연속일 때 만약 \left[ a,b\right]\sub B라면


\int_{a}^{b} f(g(t)) g'(t)\,dt  = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx

가 성립한다.

증명[편집]

f역도함수F라 하자. 위의 부정적분 꼴 공식에 의하여 f(g(t)) g'\left( t\right)역도함수F\left( g\left( t\right)\right)이고 미적분학의 제 2 기본정리에의하여 좌변은 F\left( g\left( t\right)\right)\Big]^b_a=F\left( g\left( b\right)\right) -F\left( g\left( a\right)\right)이다. 우변에도 미적분학의 제 2 기본정리을 사용해주면 F\left( x\right)\Big]^{g\left( b\right)}_{g\left( a\right)}=F\left( g\left( b\right)\right) -F\left( g\left( a\right)\right)이다. 따라서 \int_{a}^{b}f\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right) dt=\int_{g\left( a\right)}^{g\left( b\right)}f\left( x\right) dx이다.

간단한 꼴[편집]

부정적분 꼴과 마찬가지로 정적분 꼴도 미분소 개념을 이용하면 쉽게 계산된다. 즉, x=g\left( t\right) 치환을 한다면 \int_a^bf\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right) dt=\int_{g\left( a\right)}^{g\left( b\right)}f\left( x\right) dx이다. 다만 치환을 할 때 정적분의 구간도 같이 치환을 해주어야 한다. 방금의 예에서도 보면 좌변의 적분 구간 \left[ a,b\right]가 우변에서는 \left[ g\left( a\right) ,g\left( b\right)\right]으로 변하였다.


관련 정리[편집]

대칭함수의 적분[편집]

함수 f:A\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}가 개구간 I=\left[ -a,a\right]\sub A에서 연속일때

  1. f짝함수라면 \int^a_{-a}f\left( t\right) dt=2\int^a_0f\left( t\right) dt이다.
  2. f홀함수라면 \int^a_{-a}f\left( t\right) dt=0이다.
증명
\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=\int^a_0f\left( t\right) dt+\int^0_{-a}f\left( t\right) dt=-\int^{-a}_0f\left( t\right) dt+\int^a_0f\left( t\right) dt이므로 첫항을 x=g\left( t\right) =-t 치환을 한다면[2] \int^a_{-a}f\left( t\right) dt=-\left( -\int^a_0f\left( -x\right) dx\right) +\int^a_0f\left( t\right) dt=\int^a_0f\left( -x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt을 얻을 수 있다.
f짝함수라면 f\left( -x\right) =f\left( x\right)이므로 \int^a_{-a}f\left( t\right) dt=\int^a_0f\left( x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt=2\int^a_0f\left( t\right) dt이고[3]
f홀함수라면 f\left( -x\right) =-f\left( x\right)이므로 \int^a_{-a}f\left( t\right) dt=\int^a_0-f\left( x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt=-\int^a_0f\left( x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt=0이다.[4]

사용 예[편집]

편의상 실제 정리보다는 간단한 꼴을 사용하겠다.

  1. \int t^3\cos\left( t^4+2\right) dt=?
    (풀이) 코사인 함수안의 항이 복잡하면 적분하기가 힘들다. 유심히 살펴보니 x=t^4+2 치환을 하면 \frac{dx}{dt}=4t^3, 즉 dx=4t^3dt인데 t^3이 적분해야하는 함수에 포함되어 있으므로 간단하게 없어질 수 있을 것으로 보인다. t^3dt=\frac{1}{4}dx이므로 치환적분을 하면 \int t^3\cos\left( t^4+2\right) dt=\int\cos\left( t^4+2\right) t^3dt=\int\cos x \left( \frac{1}{4}dx \right) =\frac{1}{4}\int\cos xdx=\frac{1}{4}\sin x+C이다. 이제 다시 x자리에 t^4+2를 넣어주면 결과는 \int t^3\cos\left( t^4+2\right) dt=\frac{1}{4}\sin\left( t^4+2\right) +C이다.
  2. \int^2_1\frac{dt}{\left( 3-5t\right)^2}=?
    (풀이) 분모가 복잡한 꼴보다는 분자가 복잡한 꼴이 적분하기 훨씬 쉽다. 분모의 3-5tx로 치환한다면 \frac{dx}{dt}=-5이므로 dt=-\frac{1}{5}dx이다. 또 t=1일 때 x=-2이고 t=2일 때 x=-7이다. 따라서 치환적분을 한다면 \int^2_1\frac{dt}{\left( 3-5t\right)^2}=\int^{-7}_{-2}\frac{-\frac{1}{5}dx}{x^2}=-\frac{1}{5}\int^{-7}_{-2}\frac{dx}{x^2}=\left( -\frac{1}{5}\right)\left( -\frac{1}{x}\right)\Bigg]^{-7}_{-2}=\frac{1}{5x}\Bigg]^{-7}_{-2}=\left( -\frac{1}{35}\right) -\left( -\frac{1}{10}\right) =\frac{1}{14}이다.

주석[편집]

  1. 라이프니츠미분 표기 방식인 \frac{dx}{dt}는 우리에게 익숙한 곱셈과 나눗셈과 문제없이 잘 연결된다. 물론 \frac{dx}{dt}dx\div dt를 의미하는 것은 절대로 아니다. 다만 dx=g'\left( t\right) dt와 같이 곱셈과 나눗셈과 매끄럽게 호환된다 그렇기 때문에 사람들은 라이프니츠의 표기 방식을 뉴턴의 표기방식보다 더 자주 사용한다.
  2. 새로운 함수 h\left( t\right) =f\left( -t\right)를 잡아주면 g'\left( t\right) =-1이므로 \int^{-a}_0f\left( t\right) dt=\int^{-a}_0h\left( -t\right) dt=-\int^{-a}_0h\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right)dt이므로 위에서 보인바와 같이 \int^{-a}_0f\left( t\right) dt=\int^{g\left( -a\right)}_{g\left( 0\right)}h\left( x\right) dx=\int^a_0h\left( x\right) dx이다. h\left( t\right) =f\left( -t\right)이므로 \int^{-a}_0f\left( t\right) dt=-\int^a_0f\left( -x\right) dx이다.
  3. 주의: 부정적분의 경우 xt가 종속변수라면 x=t가 아닌이상 \int f\left( t\right) dt\ne\int f\left( x\right) dx이다. 하지만 정적분의 경우 결과는 함수가 아닌 숫자이므로 관계가 없다.
  4. 와 마찬가지

참고 문헌[편집]