적분표

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미적분학
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적분(積分)은 미적분학(calculus)의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 간단하지 않기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 매우 유용하게 사용된다.

식에 나오는 C는 적분 상수를 나타낸다.

일반적인 적분규칙[편집]

\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ constant)}\,\!
\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx
\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!
\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C
\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C

유리함수[편집]

\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1
\int x^{-1}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C
\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C

무리함수[편집]

\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C
\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C
\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C

로그함수[편집]

\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C

지수함수[편집]

\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

삼각함수[편집]

\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C
\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \sin^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx - \sin mx \cos mx)} + C
\int \cos^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx + \sin mx \cos mx)} + C
 \int \sin^n x \, dx = {-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx} + C
 \int \cos^n x \, dx = {\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C
 \int \sec^n x \, dx = {\frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} x \, dx} + C
 \int \csc^n x \, dx = {\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{-(n-1)} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \, dx} + C

쌍곡선함수[편집]

\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C

정적분[편집]

어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi
\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi