적분표

적분(積分)은 미적분학(calculus)의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 간단하지 않기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 매우 유용하게 사용된다.

식에 나오는 $C$는 적분 상수를 나타낸다.

일반적인 적분규칙

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ constant)}\,\!$

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$

$\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!$

$\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C$

$\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C$

유리함수

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1$

$\int x^{-1}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C$

무리함수

$\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C$

$\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C$

$\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C$

로그함수

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C$

지수함수

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

삼각함수

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sin^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx - \sin mx \cos mx)} + C$

$\int \cos^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx + \sin mx \cos mx)} + C$

$\int \sin^n x \, dx = {-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx} + C$

$\int \cos^n x \, dx = {\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C$

$\int \sec^n x \, dx = {\frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C$

$\int \csc^n x \, dx = {\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{-(n-1)} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \, dx} + C$

쌍곡선함수

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C$

정적분

어떤 함수의 적분은 초등 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$