미분표

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미분의 기본 공식

이 문단에선 라그랑주의 표기법이 사용되었다.

$f$와 $g$를 미분 가능한 함수라 하면

• (선형성)

$\left({cf}\right)' = cf'$ ($c$는 상수)

$\left({f + g}\right)' = f' + g'$

$\left({f - g}\right)' = f' - g'$

• (곱의 법칙)

$\left({fg}\right)' = f'g + fg'$

• (연쇄 법칙)

$(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$

확장된 미분의 기본 공식

조금 더 넓게 다음까지도 기본 공식으로 취급하기도 한다.

• (역수 법칙)

$\left( \frac{1}f \right)'= -\frac{f'}{f^2}$

• (몫의 법칙)

$\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}$  (단, $g \ne 0$)

• (역함수 법칙)

$f(g(y)) = y$ 라 하면

$g' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}$

단순한 함수의 미분

${d \over dx} c = 0$

${d \over dx} x = 1$

${d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

${d \over dx} x^c = cx^{c-1}$

${d \over dx} \sqrt{x} = {1 \over 2 \sqrt{x}}$

${d \over dx} \left({1 \over x}\right) = -{1 \over x^2}$

지수함수와 로그 함수의 미분

${d \over dx} a^{f(x)} = { a^{f(x)} f'(x) \ln a },\qquad a > 0$

${d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0$

${d \over dx} e^x = e^x$

${d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1$

${d \over dx} \ln x = {1 \over x}$

삼각함수의 미분

${d \over dx} \sin x = \cos x$

${d \over dx} \cos x = -\sin x$

${d \over dx} \tan x = {1 \over \cos^2 x} = \sec^2 x$

${d \over dx} \csc x = - {1 \over \tan x \sin x} = -\cot x \csc x$

${d \over dx} \sec x = \tan x \sec x$

${d \over dx} \cot x = - {1 \over \sin^2 x} = -\csc^2 x$

${d \over dx} \sin^{-1} x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \cos^{-1} x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \tan^{-1} x = { 1 \over 1 + x^2}$

${d \over dx} \csc^{-1} x = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \sec^{-1} x = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \cot^{-1} x = {-1 \over 1 + x^2}$

쌍곡선 함수의 미분(differentials of hyperbolic functions)

${d \over dx} \sinh x = \cosh x$

${d \over dx} \cosh x = \sinh x$

${d \over dx} \tanh x = \mbox{sech}^2\,x$

${d \over dx} \,\mbox{csch}\,x = -\,\mbox{coth}\,x\,\mbox{csch}\,x$

${d \over dx} \,\mbox{sech}\,x = -\tanh x\,\mbox{sech}\,x$

${d \over dx} \,\mbox{coth}\,x = -\,\mbox{csch}^2\,x$

${d \over dx} \sinh^{-1} x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$

${d \over dx} \cosh^{-1} x = {1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$

${d \over dx} \tanh^{-1} x = { 1 \over 1 - x^2}$

${d \over dx} \mbox{csch}^{-1}\,x = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$

${d \over dx} \mbox{sech}^{-1}\,x = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$

${d \over dx} \mbox{coth}^{-1}\,x = { 1 \over 1 - x^2}$