라플라스 연산자

라플라스 연산자(Laplace operator), 라플라시안(Laplacian)은 물리학과 수학에서 쓰이는 미분 연산자로, 피에르시몽 라플라스의 이름을 따라 명명되었다. 기호로는 Δ 또는 ∇²로 표기한다.

수학 들머리

정의

유클리드 공간에서 두번 미분할 수 있는 실수 함수 f에 대한 라플라시안은 f에 대한 그래디언트의 발산으로 정의되며 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$

이것은 n차원 데카르트 좌표계에서 다음의 식과 동치이다.

$\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}$

여러가지 좌표계에 대한 표현

이 식들은 각 좌표에 해당하는 좌표변환을 사용하여 구할 수 있다. 각 좌표에 대한 의미는 해당 좌표의 문서에 나와있는 정의를 따르고 있다.

2차원

직교좌표계에서의 라플라시안은 다음과 같다.

$\Delta f = \frac{\partial^2 f} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 f} {\partial y^2}$

극좌표계에서의 라플라시안은 다음과 같다.

$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}$

3차원

직교좌표계에서의 라플라시안은 다음과 같다.

$\Delta f = \frac{\partial^2 f} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 f} {\partial y^2} + \frac{\partial^2 f} {\partial z^2}$

원통 좌표계에서는 다음과 같다.

$\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }.$

구면 좌표계에서는 다음과 같다.

$\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.$

비유클리드 공간

라플라시안은 비유클리드 공간에서도 일반적으로 정의될 수 있다.

민코프스키 공간에서는 라플라시안이 달랑베르 연산자로 정의되며, 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$\square f= {\partial^2 f \over \partial x^2 } + {\partial^2 f \over \partial y^2 } + {\partial^2 f \over \partial z^2 } - \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }.$

과학에서의 응용

라플라시안은 물리학 또는 화학에서 벡터장의 퍼텐셜(potential)을 이용해 벡터장의 특성을 나타낼 때 사용된다. 예를 들어, 전기장의 퍼텐셜인 전기 퍼텐셜에 라플라시안을 취하면 전하 밀도를 유전률 상수로 나눈 값이 되는데, 이것은 푸아송 방정식의 하나로 이것의 해를 찾는 것은 정전기학에서 중요한 문제이다.