준 리만 다양체

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미분기하학에서, 준 리만 다양체(영어: pseudo/semi-Riemannian manifold)는 양의 정부호가 아닐 수 있는 계량 텐서가 주어진 미분다양체이며, 리만 다양체의 일반화이다.

정의[편집]

준 리만 다양체 (M,g)는 다음 조건을 만족시키는 매끈한 (0,2)-텐서장 g가 갖추어진 미분다양체 M이다.

  • (대칭성) 모든 벡터장 X,Y에 대하여 g(X,Y)=g(Y,X)이다.
  • (비자명성) 만약 모든 벡터장 Y에 대하여 g(X,Y)=0인 벡터장 X가 있다면, X=0이다.

gM계량 텐서라고 한다. 만약 g가 추가로 양의 정부호라면 (M,g)리만 다양체가 된다.

준 리만 다양체 (M,g)부호수(영어: signature)는 그 계량 텐서의 부호수이다. (만약 M연결공간이라면 이는 모든 점에서 동일하다.) 부호수가 (\dim M-1,1)인 다양체를 로런츠 다양체(영어: Lorentzian manifold)라고 한다. (대신 (1,\dim M-1)로 정의하는 문헌도 있는데, 이는 g\to-g로 단순히 부호를 바꾸는 것에 불과하다.)

응용[편집]

로런츠 다양체는 물리학에서 등장한다. 특히, 일반 상대성 이론시공간을 4차원 로런츠 다양체로 나타낸다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Chen, Bang-Yen (2011년). 《Pseudo-Riemannian geometry, δ-invariants and applications》. World Scientific Publisher. ISBN 978-981-4329-63-7
  • (영어) O’Neill, Barrett (1983년). 《Semi-Riemannian geometry with applications to relativity》, Pure and Applied Mathematics 103. Academic Press. ISBN 978-008057057-0

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]