푸아송 방정식

푸아송 방정식(Poisson方程式, 영어: Poisson’s equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 라플라스 방정식을 일반화한 것이다. 시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다.

정의

$n$차원 다양체 $M$ 위에서, $f$가 $M$ 위에 주어진 함수라고 하자. 그렇다면 푸아송 방정식은 미지 함수 $\phi$에 대한 다음과 같은 2차 편미분 방정식이다.

$\Delta\phi=f$

여기서 $\Delta$는 라플라스-벨트라미 연산자이며, 이는 $M$이 평탄할 때 라플라스 연산자와 같다.

그린 함수

푸아송 방정식은 그린 함수를 사용하여 풀 수 있다. $n$차원 유클리드 공간에서 푸아송 방정식의 그린 함수 $G_n(\mathbf r)$는 다음과 같다.

$G_1(r)=-\frac{|r|}2$

$G_2(\mathbf r)=-\frac{\ln(\Vert\mathbf r\Vert)}{2\pi}$

$G_n(\mathbf r)=\frac1{V_n\Vert\mathbf r\rVert^{n-2}}$ ($n>2$)

여기서

$V_n=2\pi^{n/2}/\Gamma(n/2)$

은 반지름이 1인 $n-1$차원 초구의 (초)면적이고, $\Gamma$는 감마 함수다. 예를 들어

$V_1=2$

$V_2=2\pi$

$V_3=4\pi$

$V_4=2\pi^2$

이다. 그린 함수 $G_n$은 다음을 만족시킨다.

$\Delta G_n(\mathbf r)=-\delta^{(n)}(\mathbf r)$

여기서 $\delta^{(n)}$는 $n$차원 디랙 델타 함수다.

응용

전자기학에서, 주어진 전하 분포가 발생시키는 전위를 계산할 때 쓰인다. 이 경우 $f$는 주어진 전하 밀도이고, $\phi$는 전위로 해석한다.