라플라스-벨트라미 연산자

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미분기하학에서, 라플라스-벨트라미 연산자(Laplace–Beltrami operator)는 리만 다양체 위에 정의한 라플라스 연산자다.

역사[편집]

에우제니오 벨트라미고전역학을 일반적인 리만 다양체 위에 정의하기 위하여 도입하였다.[1]

정의[편집]

리만 다양체 (M,g) 위의 임의의 매끈한 스칼라장 \phi\colon M\to\mathbb R라플라스-벨트라미 연산자 \Delta\phi는 다음과 같다.

\Delta\phi=\frac1{\sqrt{\det g}}\partial_i\left(\sqrt{\det g}g^{ij}\partial_j\phi\right).

여기서 \det g_{ij}계량 텐서의 성분의 행렬식이다.

예제[편집]

예를 들어, 유클리드 평면극좌표계 (r,\theta)를 생각해 보자. 그렇다면

g_{rr}=1
g_{\theta\theta}=r^2
g_{r\theta}=g_{\theta r}=0

이다. 따라서

\sqrt{\det g}=r

이고,

\Delta=\frac1r\left(\frac\partial{\partial r}r\frac\partial{\partial r}+\frac\partial{\partial\theta}r^{-1}\frac\partial{\partial\theta}\right)=\frac1r\frac\partial{\partial r}r\frac\partial{\partial r}+\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}

이다. 이는 통상적인 라플라스 연산자와 같다.

텐서 연산자로 일반화하기[편집]

라플라스-벨트라미 연산자는 레비치비타 기호와 같이 공변적 미분을 이용해 임의의 준리만다항체 위의 텐서까지 확장할 수 있다. 이 확장된 연산자는 반대칭텐서처럼 행동한다. 하지만, 이렇게 만들어진 연산자는 라플라스 연산자와 똑같지 않으며, 두 연산자는 바이첸뵈크 항등식(Weitzenböck identity)로 연관된다.

참고 문헌[편집]

  1. Beltrami, Eugenio (1902–20). 《Opere matematiche di Eugenio Beltrami. Pubblicate per cura della Facoltà di scienze della R. Università di Roma》 (이탈리아어). Milano: U. Hoepli
  • Flanders, H (1989). 《Differential forms with applications to the physical sciences》. Dover. ISBN 978-0486661698
  • Jost, Jürgen (2002). 《Riemannian Geometry and Geometric Analysis》. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2