라플라스 방정식
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라플라스 방정식(Laplace's equation)은 라플라스의 이름을 딴 편미분 방정식으로, 전자기학, 천문학 등의 여러 과학 분야에서 중요한 위치를 차지한다. 이 방정식은 특히 전기장과 중력 포텐셜을 기술하는 데에 중요하다.
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[편집] 정의
라플라스 방정식은 3차원 공간에서 2차미분이 가능한 실함수 
에 대해,
를 만족하는 
를 찾는 문제로 정의된다.
이 식은 그래디언트(
)나 라플라스 연산자(Δ)를 이용해
- Δφ = 0
로 표기할 수도 있다.
이 문제에서 우변을 특정 함수 f(x,y,z)로 바꾼다면, 이 문제는
- Δφ = f
의 모양이 되고, 이 방정식은 푸아송 방정식이라고 부른다.
[편집] 경계 조건
라플라스 방정식의 디리클레 문제(Dirichlet problem)란 어떤 영역 D의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 D위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.
라플라스 방정식의 노이만 경계 조건(Neumann boundary condition)은 경계 D에서 함수 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.
라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.
[편집] 2차원 라플라스 방정식
2차원에서 라플라스 방정식은
의 형태로 나타난다.
[편집] 2차원 라플라스 방정식의 차분방정식
h는 격자크기(mesh size)
프아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.
[편집] 해석적 함수
복소 범위의 해석적 함수 f의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. z = x + iy이고
- f(z) = u(x,y) + iv(x + y)
라 하자. f(z)가 해석적이려면
- ux = vy,vx = − uy
를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서
- uyy = ( − vx)y = − (vy)x = − (ux)x
이다. 따라서 u 는 라플라스 방정식을 만족한다. v도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.
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