라플라스 방정식

라플라스 방정식(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수라고 한다.

정의

$n$차원 리만 다양체에서 $\Delta$가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.

$\Delta \phi =0$.

3차원 유클리드 공간에서는

$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

이므로,

${\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0$

이 된다.

관련된 편미분 방정식

우변을 주어진 함수 $f(x,y,z)$로 바꾼 경우

$\Delta \phi =f$

는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 $f=0$인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.

우변을 다음과 같이 바꾸면

$\Delta \phi =k^{2}\phi$

헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 $k^{2}=0$인 경우다.

코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)

경계 조건

라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 $D$의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 $D$위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.

라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 $\varphi$ 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.

라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

2차원 라플라스 방정식

2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.$

의 형태로 나타난다.

2차원 라플라스 방정식의 차분방정식

$u\left(x+h,y\right)+u\left(x,y+h\right)+u\left(x-h,y\right)+u\left(x,y-h\right)-4u\left(x,y\right)=0$

$h$는 격하게 (mesh size)

푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.

$u\left(x+h,y\right)+u\left(x,y+h\right)+u\left(x-h,y\right)+u\left(x,y-h\right)-4u\left(x,y\right)=h^{2}f\left(x,y\right)$

해석적 함수

복소 범위의 해석적 함수 $f$의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. $z=x+iy$이고

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

라 하자. $f(z)$가 해석적이려면

$u_{x}=v_{y},v_{x}=-u_{y}$

를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서

$(u_{y})_{y}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}$

이다. 따라서 $u$는 라플라스 방정식을 만족한다. $v$도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.

2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수

극좌표계 $(r,\theta )$에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.

$\Delta =r^{-1}{\frac {\partial }{\partial r}}r{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}$.

따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.

$\phi (r,\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(a_{n}r^{n}\cos n\phi +b_{n}r^{n}\sin n\theta \right)$.

이는 함수 $\phi$의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는

$\phi (r,\theta )=\operatorname {Re} \left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{n}-ib_{n})z^{n}\right]$

으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.

3차원 라플라스 방정식

3차원 공간에서, 구면좌표계 $(r,\theta ,\phi )$에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$f(r,\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left(a_{l}^{m}r^{l}+b_{l}^{m}r^{-l-1}\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$.

여기서 $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$는 구면 조화 함수이고, $a_{l}^{m}$와 $b_{l}^{m}$은 임의의 계수다. 물론, $f$가 원점에서 연속적이려면 $b_{l}^{m}=0$이다.