라플라스 방정식

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라플라스 방정식(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수라고 한다.

정의[편집]

n차원 미분다양체에서 \Delta라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.

\Delta\phi=0.

3차원 유클리드 공간에서는

\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}

이므로,

{\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0

이 된다.

관련된 편미분 방정식[편집]

우변을 주어진 함수 f(x,y,z)로 바꾼 경우

\Delta \phi = f

푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 f=0인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.

우변을 다음과 같이 바꾸면

\Delta\phi=k^2\phi

헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 k^2=0인 경우다.

코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)

경계 조건[편집]

라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 D의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 D위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.

라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 \varphi 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.

라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

2차원 라플라스 방정식[편집]

2차원에서 라플라스 방정식은

\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0

의 형태로 나타난다.

2차원 라플라스 방정식의 차분방정식[편집]

u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=0

h는 격자크기(mesh size)

프아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.

해석 실패 (어휘 오류): u\left( x+h,y \right)+u\left( === 해석적 함수 === 복소 범위의 해석적 함수 <math>f 의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다.

z=x+iy이고

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

라 하자. f(z)가 해석적이려면

u_x = v_y, v_x=-u_y

를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서

u_yy=(-v_x)_y=-(v_y)_x = -(u_x)_x

이다. 따라서 u 는 라플라스 방정식을 만족한다. v도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.

2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수[편집]

극좌표계 (r,\theta)에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.

\Delta=r^{-1}\frac\partial{\partial r}r\frac\partial{\partial r}+r^{-2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}.

따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.

\phi(r,\theta)=\sum_{n=-\infty}^\infty\left(a_nr^n\cos n\phi+b_nr^n\sin n\theta\right).

이는 함수 \phi푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는

\phi(r,\theta)=\operatorname{Re}\left[\sum_{n=-\infty}^\infty(a_n-ib_n)z^n\right]

으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.

3차원 라플라스 방정식[편집]

3차원 공간에서, 구면좌표계 (r,\theta,\phi)에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.

f(r,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \left(a_l^m r^l + b_l^m r^{-l-1}\right)Y_l^m(\theta,\phi).

여기서 Y_l^m(\theta,\phi)구면 조화 함수이고, a_l^mb_l^m은 임의의 계수다. 물론, f가 원점에서 연속적이려면 b_l^m=0이다.