라플라스 방정식

라플라스 방정식(Laplace's equation)은 라플라스의 이름을 딴 편미분 방정식으로, 전자기학, 천문학 등의 여러 과학 분야에서 중요한 위치를 차지한다. 이 방정식은 특히 전기장과 중력 포텐셜을 기술하는 데에 중요하다.

수학 들머리

정의

라플라스 방정식은 3차원 공간에서 2차미분이 가능한 실함수 φ(x,y,z)에 대해,

${\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0$

를 만족하는 φ를 찾는 문제로 정의된다.

이 식은 그래디언트($\nabla$)나 라플라스 연산자(Δ)를 이용해

$\nabla^2 \phi = 0$

Δϕ = 0

로 표기할 수도 있다.

이 문제에서 우변을 특정 함수 f(x,y,z)로 바꾼다면, 이 문제는

Δϕ = f

의 모양이 되고, 이 방정식은 푸아송 방정식이라고 부른다.

경계 조건

라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 D의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 D위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.

라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 φ 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.

라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

2차원 라플라스 방정식

2차원에서 라플라스 방정식은

φ_xx + φ_yy = 0

의 형태로 나타난다.

2차원 라플라스 방정식의 차분방정식

$u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=0$

h는 격자크기(mesh size)

프아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.

$u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=h^{2}f\left( x,y \right)$

해석적 함수

복소 범위의 해석적 함수 f의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. z = x + iy이고

f(z) = u(x,y) + iv(x + y)

라 하자. f(z)가 해석적이려면

u_x = v_y,v_x = − u_y

를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서

u_yy = ( − v_x)_y = − (v_y)_x = − (u_x)_x

이다. 따라서 u 는 라플라스 방정식을 만족한다. v도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.