헬름홀츠 방정식

평면에서 두 개의 방사하는 소스, 주어진 함수 $f$ 는 블루 지역에서 제로를 의미한다.

다음 $A,$ 의 실수영역이며, $A$ 는 비등차(inhomogeneous) 헬름호츠 방정식의 해이다 $(\nabla^2 + k^2) A = -f.$

수학에서, 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 물리학에서 자주 등장한다. 독일의 물리학자 및 생리학자 헤르만 폰 헬름홀츠의 이름을 땄다.

정의[편집]

$n$ 차원 유클리드 공간 위에 함수 $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ 을 생각해 보자. 그렇다면 $f$ 에 대한 헬름홀츠 방정식은 다음과 같다.

$(\nabla^2 + k^2)f(\mathbf x)= 0.$

여기서 $\nabla^2$ 는 라플라스 연산자이고, $k$ 는 상수다.

극좌표계에서, 2차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

$f(r,\theta)=\sum_{n=0}^\infty\left(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta\right)\left(c_nJ_n(kr)+d_nY_n(kr)\right)$ .

여기서 $J_n(kr)$ 과 $Y_n(kr)$ 은 베셀 함수다. 만약 $f$ 가 원점 $r=0$ 에서 연속적이려면 ( $Y_n(kr)$ 은 원점에서 발산하므로) $d_n=0$ 이어야 한다.

구면좌표계에서, 3차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

$f(r,\theta,\phi)=\sum_{m,l}Y_l^m(\theta,\phi)\left(c_nj_n(kr)+d_ny_n(kr)\right)$ .

여기서 $j_n(kr)$ 과 $y_n(kr)$ 은 구면 베셀 함수이고, $Y_l^m(\theta,\phi)$ 는 구면 조화 함수다.