헬름홀츠 방정식

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평면에서 두 개의 방사하는 소스, 주어진 함수 f는 블루 지역에서 제로를 의미한다.
다음 A,실수영역이며, A는 비등차(inhomogeneous) 헬름호츠 방정식의 해이다 (\nabla^2 + k^2) A = -f.

수학에서, 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 물리학에서 자주 등장한다. 독일의 물리학자생리학자 헤르만 폰 헬름홀츠의 이름을 땄다.

정의[편집]

n차원 유클리드 공간 위에 함수 f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R을 생각해 보자. 그렇다면 f에 대한 헬름홀츠 방정식은 다음과 같다.

(\nabla^2 + k^2)f(\mathbf x)= 0.

여기서 \nabla^2라플라스 연산자이고, k는 상수다.

2차원 헬름홀츠 방정식[편집]

극좌표계에서, 2차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

f(r,\theta)=\sum_{n=0}^\infty\left(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta\right)\left(c_nJ_n(kr)+d_nY_n(kr)\right).

여기서 J_n(kr)Y_n(kr)베셀 함수다. 만약 f가 원점 r=0에서 연속적이려면 (Y_n(kr)은 원점에서 발산하므로) d_n=0이어야 한다.

3차원 헬름홀츠 방정식[편집]

구면좌표계에서, 3차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

f(r,\theta,\phi)=\sum_{m,l}Y_l^m(\theta,\phi)\left(c_nj_n(kr)+d_ny_n(kr)\right).

여기서 j_n(kr)y_n(kr)구면 베셀 함수이고, Y_l^m(\theta,\phi)구면 조화 함수다.

응용[편집]

k^2=-m^2이 음수일 때, 헬름홀츠 방정식은 (유클리드 계량 부호수)에서의) 클라인-고든 방정식이 된다. 따라서, 헬름홀츠 방정식의 그린 함수

(\nabla^2-m^2)f(\mathbf x)=\delta(\mathbf x)

는 점입자의 퍼텐셜이 된다. 유클리드 공간 \mathbb R^n에서 그린 함수는 다음과 같다. 여기서 r=\Vert\mathbf x\Vert이다.

차원 그린 함수 m=0인 그린 함수
2 -K_0(mx)/2\pi (\ln r)/2\pi
3 -\exp(-mr)/(4\pi r) -1/(4\pi r)
n>2 -(n-2)(2\pi)^{-1}(m/2\pi r)^{n/2-1}K_{n/2-1}(mr) -1/(V_nr^{n-2})

여기서

V_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)} (n>2)

는 반지름이 1인 n-1차원 초구의 (초)면적이고, \Gamma감마 함수다. K_\alpha(x)베셀 함수의 하나다. m=0인 경우 헬름홀츠 방정식은 푸아송 방정식이 되고, 이 경우 퍼텐셜은 익숙한 역거듭제곱 법칙을 따른다. 유한한 m의 경우, 이 퍼텐셜은 잘 알려진 유카와 퍼텐셜이다.

참고 문헌[편집]