베셀 함수

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베셀 함수(Bessel function)는 수학자 다니엘 베르누이에 의해 처음 정의 되고, 프레드리히 베셀에 의해 일반화 된 함수로, 다음의 α차 베셀 방정식, 간단히 베셀 방정식이라 불리는 미분 방정식의 해 y(x)를 말한다.

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0$

이때 α는 임의의 복소수이다. 또한, 베셀 함수는 원통좌표계에서 라플라스 방정식의 해이기도 하기 때문에, 원주함수나 원주조화함수라고도 불린다.

수학 들머리

[편집] 정의

위의 미분 방정식의 최고차항은 2차이므로, 이 방정식에는 두 개의 선형 독립인 해가 존재한다. 그런데 α의 값에 따라 함수의 형태가 크게 바뀌는데, 그 때문에 아래와 같이 다양한 베셀 함수가 생기게 된다.

[편집] 제1종 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑) 일 때 J_α(x)의 그래프

α가 임의의 복소수일 때, 위 방정식의 가장 기본적인 해를 제1종 베셀 함수 J_α(x)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

$J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}$

여기서 Γ(x)는 감마 함수를 의미한다.

이때 만약 α가 정수가 아니라면, J_α(x)와 J_-α(x)는 선형 독립이면서 베셀 방정식의 해가 된다. 따라서,

y (x) = c 1 J α (x) + c 2 Y α (x)

(여기서 c₁,c₂는 상수) 는 α가 정수가 아닐 때의 베셀 방정식의 일반해가 된다.

[편집] 성질

J - α (x) = ( - 1) α J α (x)

$J_{-1/2} (x) = \sqrt{{2 \over \pi x }} \cos x$

$J_{1/2} (x) = \sqrt{{2 \over \pi x }} \sin x$

${d \over dx } \left( x^\alpha J_\alpha (x) \right) = x^\alpha J_{\alpha-1}$

$\int_0 ^x x' J_0 (x') dx' = x J_1(x)$

$\sum_{k=-\infty} ^\infty J_k (x) = 1$

[편집] 베셀의 적분

n이 정수인 베셀 함수에 대해선 다음과 같이 적분표현을 사용해서 베셀함수의 표현이 가능하다.

$J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n \tau - x \sin \tau) d\tau.$

이 형태는 베셀이 사용했던 접근법이다. 그리고 여기서 다른 몇몇 성질들을 유도해냈다.

또 다른 적분 형태의 정의로는 다음이 있다.

$J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-i(n \tau - x \sin \tau)} d\tau$

[편집] 경로적분을 통한 표현

경로적분을 통한 베셀함수의 표현은 다음과 같다.

$J_n(z) = {1 \over 2\pi i} \oint e^{(z/2)(t-1/t)}t^{-n-1}dt$

여기서 적분경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

[편집] 제2종 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑)일 때 Y_α(x)의 그래프

만약 α가 정수이면 제1종 베셀 함수의 첫번째 성질에 의해 두 함수는 독립이 아니게 된다. 따라서 방정식의 해가 되는 다른 함수가 필요하고, 아래와 같이 정의된 함수를 제2종 베셀 함수 Y_α(x)라고 한다.

$Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha (x) \cos \alpha\pi - J_{-\alpha} (x)}{\sin \alpha\pi},$

그런데 위 함수는 α가 정수일 때 정의되지 않으므로, 좀 더 엄밀하게 제2종 베셀함수를 정의하면 다음과 같이 극한으로 정의된다.

$Y_\alpha(x) = \lim_{m \rightarrow \alpha} \frac{J_m (x) \cos m\pi - J_{-m}(x)}{\sin m\pi},$

따라서 일반적으로,

y (x) = c 1 J α (x) + c 2 Y α (x)

(여기서 c₁,c₂는 상수) 가 베셀 방정식의 일반해가 된다.

[편집] 제1종 변형 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 I_α(x)의 그래프

이번엔 아래와 같은 변형 베셀 방정식을 생각해보자.

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0$

이 방정식의 기본적인 해를 제1종 변형 베셀 함수 I_α(x)라 하고, 자세한 형태는 다음과 같다.

$I_\alpha (x) = i^{-\alpha} J_\alpha (ix) \;$

방정식의 특징 때문에 변형 베셀 함수는 쌍곡 베셀 함수라고도 불린다.

[편집] 급수 형태

제1종 변형 베셀 함수도 다음과 같은 급수 형태를 갖는다.

$I_\alpha (z)= \left(\frac{1}{2}z \right)^\alpha \sum_{k=0}^\infty {\left({1\over4}z^2 \right)^k \over k! \Gamma(\alpha+k+1) }$

[편집] 적분을 통한 표현

경로적분을 통한 제1종 변형베셀함수의 표현은 다음과 같다.

$I_n(z) = {1 \over 2\pi i} \oint e^{(z/2)(t+1/t)}t^{-n-1}dt$

여기서 적분경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

조금 복잡하지만 다음과 같은 적분 표현법도 있다.

$I_\alpha(z)={1\over \pi} \int_0^\pi e^{z \cos \theta} \cos (\alpha\theta) d\theta -{\sin (\alpha\pi) \over \pi } \int_0^\infty e^{-z \cosh t - \alpha t}dt$

만약, α가 정수이면 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

$I_n(z)={1\over \pi} \int_0^\pi e^{z \cos \theta} \cos (n\theta) d\theta$

[편집] 미분과 관련된 성질

n = 0 에서의 제1종 변형베셀함수를 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$I_n(x)=T_n{d\over dx}I_0(x)$

여기서 T_n은 제1종 체비세프 다항식이다.

[편집] 제2종 변형 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 K_α(x)의 그래프

마찬가지로, 변형 베셀 방정식에 대한 제2종 변형 베셀 함수 K_α(x)를 정의 할 수 있는데 그 자세한 형태는 다음과 같다.

$K_\alpha (x) = {\pi \over 2} { I_{-\alpha}(x) - I_\alpha (x) \over \sin \alpha \pi }$

변형 베셀 함수와 마찬가지로 α가 정수일때 잘 정의가 되지 않으므로, 좀 더 엄밀히 정의하면,

$K_\alpha (x) = \lim_{m \rightarrow \alpha} {\pi \over 2} { I_{-m}(x) - I_m (x) \over \sin \alpha \pi }$

이다. 그리고 이 두 변형 베셀 함수가 변형 베셀 방정식의 해이므로, 변형 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

y (x) = c 1 I α (x) + c 2 K α (x)

또한 제2종 변형 베셀 함수는 다음과 같은 함수로 불리기도 했다.

배셋 함수
맥도날드 함수

[편집] 참고 문헌