구면 조화 함수

구면 조화 함수의 모양. 녹색은 함수가 양인 구역, 적색은 함수가 음인 구역을 나타낸다.

수학과 물리학에서, 구면 조화 함수(球面調和函數, spherical harmonics)는 구면에서 라플라스 방정식의 해의 정규직교기저다. 전자기학과 양자역학 등에서 구면 대칭인 계를 다룰 때 쓰인다. 기호는 $Y_l^m$이다.

정의

구면좌표계 $(r,\theta,\phi)$에서 라플라스 방정식은 다음과 같다.

$\nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0$,

변수분리법을 써, 함수 f가 다음과 같이 표현된다고 가정하자.

$f(r,\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$.

그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같다.

${\Phi(\varphi) \over \sin\theta}{d \over d\theta}\left(\sin\theta {d\Theta \over d\theta} \right) + {\Theta(\theta) \over \sin^2 \theta}{d^2\Phi \over d\varphi^2} + l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) = 0.$

이는 다음과 같이 분리된다.

$\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2$

$l(l+1)\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2$

이에 따라 어떤 $m$ 과 $l$에 대한 위 두 식을 얻는다.

따라서 각의 부분의 해는 다음과 같이 두 방정식의 해의 곱으로 표현된다.

$Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N\exp(im\varphi)P_l^m (\cos{\theta} ),$

이들 함수 $Y_l^m$를 구면 조화 함수라 부른다. 함수가 연속적이므로, $l$은 음이 아닌 정수이고, $m$은 $-l\le m\le l$을 만족하는 정수다. 여기서 $P_\ell^m$ 은 르장드르 연관 함수이고, $N$ 은 정규화 상수다. $N$은 임의적이나, 대개 편의상 $\int_{4\pi}d\Omega\;|Y_l^m|^2=1$이 되게 다음과 같이 정의한다.

$N=\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}}$.

성질

구면 조화 함수의 그래프. 기하학적인 무늬를 보인다.

라플라스 방정식의 고유해로서 구면 조화 함수의 고유값은 $-l(l+1)$이다. 즉,

$\nabla^2Y_l^m(\theta,\varphi)=-l(l+1)Y_l^m(\theta,\varphi)/r^2$.

정의에 따라, 음의 $m$ 값은 양의 $m$값과 다음과 같은 관계를 가진다.

$Y_l^{-m}=(-1)^m(Y_l^m)^*$.

(다만, 이 식은 정규화 상수를 다르게 잡을 경우 달라질 수 있다.)

양자역학과의 관계

구면 조화 함수의 매개변수 $l$과 $m$을 이렇게 부르는 까닭은 양자역학에서 이 함수를 구형 대칭의 파동 함수로 해석하면 $l$과 $m$ 궤도 각운동량 양자수에 해당하기 때문이다. 양자역학에서 궤도 각운동량(orbital angular momentum) 연산자는 다음과 같다.

$\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p=-i\hbar\mathbf r\times\mathbf\nabla$.

따라서 그 제곱은 다음과 같다.

$\mathbf L^2=-\hbar^2\left(\frac1{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right)$.

또한, 궤도 각운동량의 $z$성분은 다음과 같다.

$L_z=\hat{\mathbf z}\cdot\mathbf L=-i\hbar\frac\partial{\partial\varphi}$.

따라서, 구면 조화 함수 $Y_l^m$은 $\mathbf L^2$와 $L_z$의 고유함수이며, 그 고유값은 다음과 같다.

$\mathbf L^2Y_l^m=l(l+1)\hbar^2Y_l^m$

$L_zY_l^m=m\hbar Y_l^m$.

낮은 차수의 구면 조화 함수

낮은 차수의 구면 조화 함수는 다음과 같다. 여기서는 입자 데이터 그룹(Particle Data Group)의 관례를 따랐다. (음수 $m$의 경우는 위의 식을 통해 양의 $m$으로부터 계산할 수 있다.)

$Y_0^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{1\over \pi}$

$Y_1^0(\theta,\varphi)=\frac12\sqrt{3\over \pi}\cos\theta$

$Y_1^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{3\over 2\pi}\sin\theta\exp(i\varphi)$

$Y_2^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{5\over \pi}(3\cos^2\theta-1)$

$Y_2^1(\theta,\varphi)=-\frac12\sqrt{15\over 2\pi}\sin\theta\cos\theta\exp(i\varphi)$

$Y_2^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{15\over 2\pi}\sin^2\theta\exp(2i\varphi)$

$Y_3^0(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{7\over \pi}(5\cos^3\theta-3\cos\theta)$

$Y_3^1(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{21\over \pi}\sin\theta(5\cos^2\theta-1)\exp(i\varphi)$

$Y_3^2(\theta,\varphi)=\frac14\sqrt{105\over 2\pi}\sin^2\theta\cos\theta\exp(2i\varphi)$

$Y_3^3(\theta,\varphi)=-\frac18\sqrt{35\over \pi}\sin^3\theta\exp(3i\varphi)$

같이 보기

• 르장드르 연관 함수
• 운죌트의 정리