구면 좌표계

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구면좌표계 (球面座標係, spherical coordinate system)는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 $(r,θ,φ)$ 로 나타낸다. 원점에서의 거리 $r$ 은 0부터 무한대까지, z축에서의 각도 $θ$ 는 0 부터 π 까지, z축을 축으로 x축에서부터 돌아간 각 $φ$ 는 0 부터 2π 까지의 값을 갖는걸로 제한하기도 한다. $θ$ 는 위도로, $φ$ 는 경도로 표현되는 경우도 있다.

이 세 수치를 보고, 다음과 같은 방법으로 공간의 점을 찾을 수 있다.: 원점 $(0,0,0)$ 에서 $r$ 만큼 z축을 따라 간다. 그 지점에서 xz 평면 안에 있으면서 z축에서부터 $θ$ 만큼 회전한다. 이 xz 평면 전체를 z축을 축으로 $φ$ 만큼 반 시계방향(+x축에서 +y축 방향으로)으로 돌린다.

구면좌표계라는 이름은 이 좌표계에서 $r = 1$ 이 단위원을 표현하기 때문에 붙여졌다.

구면좌표계와 원통좌표계는 평면 극좌표계를 공간으로 확장한 것이며, 구면좌표계는 구대칭이 나타나는 문제에서 유용하게 쓰인다. 예를들어, 수소원자와 같이 구대칭이 있는 경유에 슈뢰딩거 방정식을 풀때 구면좌표계를 사용한다.

아래 변환식을 통해 직교좌표계와 변환할 수 있지만, 변환식에 등장하는 삼각함수의 역함수가 일의적이지 않기 때문에, 공간상의 각 점마다 하나의 좌표만 대응하는 직교좌표계와는 달리, 원통좌표계는 (각의 범위를 제한하지 않으면) 한 점을 나타내는 표현이 여러가지일 수 있다. 예를 들어, (1, 0°, 0°), (1, 0°, 45°), 과 (-1, 180°, 270°) 는 모두 같은 점을 나타낸다.

[편집] 정의

좌표 (r, θ, φ)는 다음과 같이 정의 된다. 주어진 점을 P라 하자.

r : 원점으로 부터 P 까지의 거리.
θ : z축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선까지의 각
φ : x축의 양의 방향으로 부터 원점과 P가 이루는 직선을 xy평면에 투영시킨 직선까지의 각.

구면좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다.

r ≥ 0

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ φ < 2π

[편집] 구면좌표계에서 직교좌표계로의 변환

x = r sinθ cosφ

y = r sinθ sinφ

z = r cosθ

[편집] 직교좌표계에서 구면좌표계로의 변환

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\theta = \operatorname{arccos}\frac{z}{r}$

$\phi = \arctan\frac{y}{x}$

[편집] 단위벡터

각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다.

$\hat{\mathbf{r}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dr}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dr}\right|} = \begin{bmatrix} \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{bmatrix}$

$\hat{\mathbf{\theta}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi \\ \cos \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \end{bmatrix}$

$\hat{\mathbf{\phi}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{d\phi}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\phi}\right|} = \begin{bmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{bmatrix}$

[편집] 단위벡터의 미분

$\frac{\partial \hat{r} }{\partial r} = 0$

$\frac{\partial \hat{\theta} }{\partial r} = 0$

$\frac{\partial \hat{\phi} }{\partial r} = 0$

$\frac{\partial \hat{r} }{\partial \theta} = \hat{\theta}$

$\frac{\partial \hat{\theta} }{\partial \theta} = -\hat{r}$

$\frac{\partial \hat{\phi} }{\partial \theta} = 0$

$\frac{\partial \hat{r} }{\partial \phi} = \sin \theta \hat{\phi}$

$\frac{\partial \hat{\theta} }{\partial \phi} = \cos \theta \hat{\phi}$

$\frac{\partial \hat{\phi} }{\partial \phi} = -\cos \theta \hat{\theta} + \sin \theta \hat{\phi}$

[편집] 유용한 공식들

Area Element

${d \bold{a}} = r^2 \sin \theta d \theta d\phi$

Volume Element

$\, {d V} = r^2 \sin \theta d r d \theta d\phi$

Gradient(그라디언트)

$\nabla = \hat{r} \frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \hat{\phi} \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}$

Divergence(발산)

$\nabla \cdot \bold{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2 F_r + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta F_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} F_\phi$

Curl

$\nabla \times F = \frac{1}{r \sin \theta} \begin{vmatrix} \hat{r} & r\hat{\theta} & r \sin \theta \hat{\phi} \\ \\ {\frac{\partial}{\partial r}} & {\frac{\partial}{\partial \theta}} & {\frac{\partial}{\partial \phi}} \\ \\ F_r & rF_\theta & r\sin\theta F_\phi \end{vmatrix}$

Laplacian(라플라시안)

$\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$