원통좌표계

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원통좌표계 (cylindrical coordinate system)는 3차원 공간을 나타내기 위해, 평면 극좌표계에 평면에서부터의 높이 z (혹은 h)를 더해, (r, \theta, z) 로 이루어지는 좌표계이다.

원통좌표계는 한 축을 중심으로 대칭성을 갖는 경우에 유용하다. 예를 들면, 반지름이 c인 무한히 긴 원통의 직교좌표계에서의 식은 x^2 + y^2 = c^2 이지만, 원통좌표계에서는 간단히 r = c가 된다. 이런 이유로 원통좌표계(cylinder-ical coordinate)란 이름이 붙어있다.

정의[편집]

Cylindrical coordinate.gif

3차원 공간의 점 P 는 (r, \theta, z)로 표시된다. 이를 직교좌표계로 표시해 보면 다음과 같다.:

  • r은 원점 O 에서 P의 xy평면으로의 사영 P'까지의 거리를 나타낸다. 다시 말하면, rz축에서 P까지의 거리이다.
  • \theta는 양의 x축 방향에서 반시계 방향으로 측정한 OP'까지의 각이다.
  • zz와 같다.

z에 높이(height)란 의미를 주어 z대신 h를 사용한 (r, \theta, h)란 표기도 자주 쓰인다.

원통좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다.

r \ge 0
0 \le \theta \le 2\pi
z : 제한 없음

직교좌표계에서 원통좌표계로의 변환식[편집]


\begin{align}
P &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta &= \tan^{-1}\frac{y}{x} \\
z &= z
\end{align}

단위벡터[편집]

단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다.

 \hat{\mathbf{r}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dr}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dr}\right|} = \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{bmatrix}
 \hat{\mathbf{\theta}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{bmatrix}
 \hat{\mathbf{z}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dz}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dz}\right|} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}


유용한 공식들[편집]

부피 요소

\, {d V} = r d r d \theta dz

기울기

\nabla = \hat{r} \frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta} {1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} +  \hat{z} 
\frac{\partial}{\partial z}

발산

\nabla \cdot \bold{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} r F_r +  \frac{1}{r } \frac{\partial}{\partial \theta} F_\theta + \frac{\partial}{\partial z} F_z

회전

\nabla \times F =  \frac{1}{r } \begin{vmatrix} \hat{r} & r\hat{\theta} & \hat{z} \\  \\
{\frac{\partial}{\partial r}} & {\frac{\partial}{\partial \theta}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
 \\  F_r & rF_\theta &  F_z \end{vmatrix}

라플라시안

\nabla^2 = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}   +  \frac{\partial^2}{\partial z^2}