디리클레 판정법

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디리클레 판정법(Dirichlet's test, -判定法)은 독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레의 이름이 붙은 무한급수의 수렴 판정법으로, 양수항이 아닌 일반적인 급수에 적용되는 강력한 판정법 중 하나이다. 교대급수판정법은 이 판정법의 특수한 경우이다. 디리클레가 처음으로 1862년순수 및 응용수학 저널(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)》에 게재하였다.[1]

공식화[편집]

실수 수열 {an}과 {bn}이 있을 때, 디리클레 판정법은 다음과 같이 쓸 수 있다.[2]

  • 부분합 {\sum_{k=1}^{n} a_k} 가 유계이고 {bn}이 0으로 수렴하는 단조감소수열이라면, \sum_{k=1}^{\infty} a_kb_k 도 수렴한다.

증명[편집]

다음과 같이 증명할 수 있다.[2] 부분합 sn := \sum_{k=1}^{n} a_k유계이므로 적당한 실수 M과 임의의 자연수 n에 대해 |s_n| \le M 으로 둔다. 그러면, |A_{n,m}[3]| = |sn - sm-1| ≤ 2M 이 성립한다. 또, 수렴성에 의해 임의의 r>0에 대하여 k≥N이면 |b_k| < \frac{r}{8M} 이 되도록 자연수 N을 잡을 수 있다. 이제 아벨 변환을 적용하면, 임의의 n>m≥N에 대하여,

|\sum_{k=m}^n a_kb_k| \le |A_{n,m}||b_n| + \sum_{j=m}^{n-1}|A_{k,m}|(b_{k+1} - b_k) \le \frac{r}{4} + 2M(b_m - b_n) < r.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), pp. 253-255.
  2. 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 182쪽.
  3. {an}의 m항부터 n항까지의 부분합

참고 문헌[편집]

  • 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007.