편미분

편미분이란 다변수 함수를 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 이러한 개념은 벡터 미적분학에서 중요하게 쓰인다.

함수 f를 x로 편미분하는 것을 기호로는 $\frac{ \partial f }{ \partial x }$, 또는 $\partial_xf$, $f_x$와 같이 나타낸다. 여기에서 $\partial$는 아드리앵마리 르장드르가 처음 제안했다.

정의

편미분에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다.

집합 $U$가 열린 집합이며 $\mathbb{R}^n$의 부분집합일 때 함수 $f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$가 있다. 이때 $\mathbf{a}=\left( a_1,...,a_n\right)\in U$에서 $i$번째 변수 $x_i$의 편미분은 다음 극한이 존재한다면 다음과 같이 정의된다.

$\frac{ \partial f}{\partial x_i}(\mathbf{a})=\lim_{h\to 0}\frac{f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{e}_i) - f(\mathbf{a})}{h}$

$\mathbf{e}_i$는 $i$번째 기저로 $i$번째 칸이 $1$인 $(0,\dots ,1,\dots ,0)$이다.

함수 $f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$이라면 이 함수는 $f_i:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$들의 모임 $f(x_1,\dots ,x_n)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n))$로 나타낼 수 있고, 이때 각 성분함수 $f_i$에 대해 편미분을 정의할 수 있다. 예를 들어 $\frac{ \partial f_i}{\partial x_j }(\mathbf{a})$는 $\mathbf{a}$에서 $i$번째 성분 $f_i$에 대한 $j$번째 변수 $x_j$의 편미분이다.

표기법

만약 $f$가 독립적인 변수 $x, y, z$에 대한 함수라고 하면, $f$를 $x$로 편미분한 식은 다음과 같다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x$

이 식을 x로 한번 더 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x} = \frac{\partial^2 f}{{\partial x}^2} = f_{xx}$

이때 $f_x$를 y로 편미분한다면, 즉 함수 f를 x로 편미분한 후 y로 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

$(\frac{\partial}{\partial y})\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}$

역시 마찬가지로, f를 x로 편미분한 후 y, z로도 한번씩 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

$\frac{\partial^3 f}{\partial z \partial y \partial x} = f_{xyz}$

예

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.

$V = \frac{ \pi r^2 h }{3}$

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2\pi r h }{3}$

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ \pi r^2 }{3}$

관련 정리

만약 함수 $f\left( x,y\right)$이 $C^2$함수라면 그 함수의 혼합 편미분($f_{xy}, f_{yx}$)은 서로 같다.

(증명) $S\left(\Delta x, \Delta y\right) =f\left( x_0+\Delta x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x_0+\Delta x,y_0\right) -f\left( x_0,y_0 +\Delta y\right) +f\left( x_0,y_0\right)$라고 하고 $g\left( x\right)=f\left( x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x,y_0\right)$라고 하자. 그렇다면 $S\left(\Delta x,\Delta y\right)=g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right)$이다. 전제에 의하여 $g$는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 $x_0+\Delta x$와 $x_0$사이에는 $g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right) =g'\left(\bar x\right)\Delta x$를 만족하는 $\bar x$가 존재한다. $S\left(\Delta x,\Delta y\right) =\left[\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right)-\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0\right)\right]\Delta x$이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 $f_x$는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 $y_0+\Delta y$와 $y_0$사이에는 $\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right) -\frac{\partial f}{\partial x}\left( \bar x,y_0 \right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y$를 만족하는 $\bar y$가 존재한다. 따라서 $S\left(\Delta x, \Delta y\right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y\Delta x$이고, $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right) =\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}$이다. $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$는 연속이므로 $\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right)$이다. 비슷한 방법으로 계산해보면 $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}$이므로 $f_{xy}=f_{yx}$이다.

참고 문헌

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0