편미분

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미적분학
v  d  e  h

편미분이란 다변수 함수를 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 이러한 개념은 벡터 미적분학에서 중요하게 쓰인다.

함수 f를 x로 편미분하는 것을 기호로는 f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f, \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ or }  \frac{\partial f}{\partial x} 와 같이 나타낸다. 여기에서 \partial아드리앵마리 르장드르가 처음 제안했다.

정의[편집]

기본 정의 및 원리[편집]

함수 f는 다른 변수들에 색인이 달린 변수들의 집합으로 재해석될 수 있다.

f(x,y) = f_x(y) = \,\! x^2 + xy + y^2.\,

다시 말해서, 모든 x값은 하나의 변수의 함수인 fx로 표시된 함수를 정의한다. 하나의 예를 들어보겠다.

f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,

x값이 정해지면 x값을 상수로 생각하기 위해 a로 표시한다. 그러면 f(x,y)는 a2 + ay + y2:로 표시된 fa가 된다.

f_a(y) = a^2 + ay + y^2. \,

이 표현에서 a는 상수이지 더이상 변수가 아니다. 그래서 fay로 표시된, 진짜 변수들에게만의 함수가 된다. 그리고 함수에서 y값을 평소 미분하는 것처럼 미분한다.

f_a'(y) = a + 2y. \,

위의 공식에서 a는 어떤 값이어도 문제가 되지 않는다. 도함수를 일반화시키기 위해서 y와 관련된 함수로 바꿔 보겠다.

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y.\,

이것은 fy에 관한 편도함수이다. ∂은 둥근 d인데 그리고 문자 델타 δ의 변형된 모형이고 편미분이라고 읽는다.

공식적인 정의[편집]

편미분에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다.

집합 U열린 집합이며 \mathbb{R}^n부분집합일 때 함수 f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}가 있다. 이때 \mathbf{a}=\left( a_1,...,a_n\right)\in U에서 i번째 변수 x_i의 편미분은 다음 극한이 존재한다면 다음과 같이 정의된다.

\frac{ \partial f}{\partial x_i}(\mathbf{a})=\lim_{h\to 0}\frac{f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{e}_i) - f(\mathbf{a})}{h}
\mathbf{e}_ii번째 기저i번째 칸이 1(0,\dots ,1,\dots ,0)이다.

함수 f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m이라면 이 함수는 f_i:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}들의 모임 f(x_1,\dots ,x_n)=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_m(x_1,\dots ,x_n))로 나타낼 수 있고, 이때 각 성분함수 f_i에 대해 편미분을 정의할 수 있다. 예를 들어 \frac{ \partial f_i}{\partial x_j }(\mathbf{a})\mathbf{a}에서 i번째 성분 f_i에 대한 j번째 변수 x_j의 편미분이다.

표기법[편집]

만약 f가 독립적인 변수 x, y, z에 대한 함수라고 하면, fx로 편미분한 식은 다음과 같다.

\frac{\partial f}{\partial x} = f_x

이 식을 x로 한번 더 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial x} = \frac{\partial^2 f}{{\partial x}^2} = f_{xx}

이때 f_x를 y로 편미분한다면, 즉 함수 f를 x로 편미분한 후 y로 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

(\frac{\partial}{\partial y})\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}

역시 마찬가지로, f를 x로 편미분한 후 y, z로도 한번씩 편미분한다면 다음과 같이 표기한다.

\frac{\partial^3 f}{\partial z \partial y \partial x} = f_{xyz}

[편집]

밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.

V = \frac{ \pi r^2 h }{3}

여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2\pi r h }{3}

또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ \pi r^2 }{3}

관련 정리[편집]

만약 함수 f\left( x,y\right)C^2함수라면 그 함수의 혼합 편미분(f_{xy}, f_{yx})은 서로 같다.
(증명) S\left(\Delta x, \Delta y\right) =f\left( x_0+\Delta x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x_0+\Delta x,y_0\right) -f\left( x_0,y_0 +\Delta y\right) +f\left( x_0,y_0\right)라고 하고 g\left( x\right)=f\left( x,y_0 +\Delta y\right) -f\left( x,y_0\right)라고 하자. 그렇다면 S\left(\Delta x,\Delta y\right)=g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right)이다. 전제에 의하여 g는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 x_0+\Delta xx_0사이에는 g\left( x_0+\Delta x\right) -g\left( x_0\right) =g'\left(\bar x\right)\Delta x를 만족하는 \bar x가 존재한다. S\left(\Delta x,\Delta y\right) =\left[\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right)-\frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0\right)\right]\Delta x이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 f_x는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 y_0+\Delta yy_0사이에는 \frac{\partial f}{\partial x}\left(\bar x,y_0+\Delta y\right) -\frac{\partial f}{\partial x}\left( \bar x,y_0 \right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y를 만족하는 \bar y가 존재한다. 따라서 S\left(\Delta x, \Delta y\right) =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right)\Delta y\Delta x이고, \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(\bar x,\bar y\right) =\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}이다. \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}연속이므로 \lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left( x,y\right)이다. 비슷한 방법으로 계산해보면 \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =\lim_{\left(\Delta x,\Delta y\right)\to\left( 0,0\right)}\frac{S\left(\Delta x, \Delta y\right)}{\Delta x\Delta y}이므로 f_{xy}=f_{yx}이다.

참고 문헌[편집]

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0