연속함수

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연속 함수는 어떤 임의의 작은 입력값의 변화에 따른 결과값의 변화도 작은 함수를 말한다.

미적분학
v  d  e  h

정의[편집]

하이네의 정의[편집]

다음은 에두아르트 하이네의 정의이다.

실수 집합의 한 부분집합에서 실수 집합으로 가는 함수 f:X\sub\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}가 있다고 하자. a\in X이고, \{x_n\}a로 수렴하는 X의 임의의 수열이라 하자. 즉, \lim_{n \to \infty} x_n = a이다. 이 때, 만일 \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)를 만족할 때, fa\in X에서 연속이다. 또한, 만일 임의의 a\in X에 대하여 위 조건이 만족된다면, fX전체에서 연속함수가 된다.

엡실론-델타 논법[편집]

수열의 극한을 쓰지 않고 함수의 연속성을 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수 집합에서 정의되는 함수 f와 정의역에 속하는 임의의 원소 c가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 fc에서 연속이다.

임의의 수 ε>0에 대해, cδ < x < c+δ에 속하는 모든 x에 대해 f(c)−ε < f(x) < f(c)+ε을 만족하는 양수 δ가 존재한다.

다시 말해, 실수 집합의 부분집합 AB에 대해, f: ABcA에서 연속이라는 것은 곧 모든 수 ε > 0에 대해 xA이고 |x-c| < δ이면 항상 |f(x)-f(c)| < ε를 만족하는 δ > 0가 존재한다는 것이다.

이를 함수의 극한으로 나타내면 \lim_{x\to c}f(x)=f(c)이다.

좌연속성과 우연속성[편집]

함수 f : S \to \mathbb R, 집합 S \subset \mathbb R와 실수 c \in S가 있다 하자.

1. \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = f(c)이면 f가 점 c에서 우연속(right-continuous)이라고 한다.

2. \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = f(c)이면 f가 점 c에서 좌연속(left-continuous)이라고 한다.

위상공간에서의 연속함수[편집]

연속함수에 대한 위의 정의는 위상공간들 사이의 함수에 대해 적용되도록 일반화할 수 있다. 함수 f :\, X \rightarrow Y 가 위상공간 X에서 위상공간 Y로의 함수라 하자. 이때 임의의 열린 집합 V \subseteq Y에 대해 그 역상 f^{-1}(V)\subseteq X열린 집합일 경우 f를 연속함수라 한다.

연속함수의 대수[편집]

집합 S \subset \mathbb R^n이 있고, C(S)S에서 정의된 모든 연속인 실수값함수의 집합이라 하자.

함수 f, g \in C(S) 라 하면, 두 함수간 연산에 대해 다음이 성립한다.

  • f + g \in C(S)
  • af \in C(S), \ a는 임의의 실수
  • f \times g \in C(S)
  • f / g \in C(S), \ g는 정의역 내 어느 점에 대해서도 0이 아닌 함수이다.

함께 보기[편집]