연속함수

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미적분학
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위상수학해석학에서, 연속 함수(連續函數, 문화어: 련속함수, 영어: continuous function)는 정의역의 점의 "작은 변화"에 대하여, 치역의 값 역시 작게 변화하는 함수이다.

정의[편집]

점에서의 연속성

위상 공간 XY 사이의 함수 f\colon X\to Y 및 점 x\in X가 다음 조건을 만족시킨다면, fx에서 연속 함수이다(continuous at the point x)라고 한다.

  • 임의의 점 x\in X근방 V\ni f(x)에 대하여, f(U)\subseteq Vx근방 U\ni x가 존재한다.

위상 공간 XY 사이의 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 연속 함수라고 한다.

위상 공간 XY 사이의 함수 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시킨다면, f점렬 연속 함수(點列連續函數, 영어: sequentially continuous function)라고 한다.

  • 임의의 점렬 x_i\in X 및 점 x\in X에 대하여, 만약 x_i\to x라면 f(x_i)\to f(x)이다.

좌·우 연속성[편집]

어떤 구간 I\subset\mathbb R위상 공간 Y 사이의 함수 f\colon I\to Y 및 실수 r\in I에 대하여, 다음을 정의하자.

  • 만약 \lim_{x\to r^+}f(x)=f(c)라면, fc에서 우연속 함수(영어: right-continuous function)이다.
  • 만약 \lim_{x\to r^-}f(x)=f(c)라면, fc에서 좌연속 함수(영어: left-continuous function)이다.

성질[편집]

연속함수는 위상 공간의 몇가지 성질을 보존하기 때문에 매우 유용하다.

임의의 두 위상 공간 X, Y 사이의 점렬 연속 함수는 항상 연속 함수이다. 만약 X제1 가산 공간이라면, XY 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 동치이다.

거리 공간에서의 연속 함수[편집]

거리 공간 (X,d_X)(Y,d_Y) 사이의 함수 f\colon X\to Y 및 점 x\in X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • f\colon X\to Yx에서 연속 함수이다.
  • 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 \delta_\epsilon이 존재한다.
    • 임의의 x'\in X에 대하여, 만약 d_X(x,x')<\delta_\epsilon라면, d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon이다.

실수값 연속 함수[편집]

임의의 위상 공간 X 위의 두 연속 함수

f,g\colon X\to\mathbb R

에 대하여, 다음이 성립한다.

  • f + g\colon X\to\mathbb R는 연속 함수이다.
  • fg\colon X\to\mathbb R는 연속 함수이다.
    • 상수 함수는 연속 함수이므로, 만약 g가 임의의 실수 r라면, rf\colon X\to\mathbb R는 연속 함수이다.
  • 만약 모든 x\in X에 대하여 f(x)\ne0이라면, 1/f는 연속 함수이다.

실수 위의 함수[편집]

실수 구간 I\subset\mathbb R으로부터 위상 공간 Y로 가는 함수 f\colon I\to\mathbb R 및 임의의 실수 r\in I에 대하여, 다음이 성립한다.

  • fr에서 좌연속 함수이며 우연속 함수이다.
  • fr에서 연속 함수이다.

[편집]

실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.

다음 함수는 연속 함수가 아니다.

  • 부호 함수 \operatorname{sgn}\colon x\mapsto\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]