그린 정리

그린 정리(Green's theorem)는 평면 영역에서의 이중적분(double integral)을 그 영역의 경계선에서의 선적분(line integral)으로 변환하여 적분의 계산을 단순하게 해준다. 경계선의 선적분을 이중적분으로 변환하는 것 역시 가능하다.

$C$는 평면 R² 위의 조각적 미분가능(piecewise smooth)한 단순한 닫힌 곡선(simple closed curve)이라고 하고, $D$는 $C$를 경계로 하는 영역이라고 하자. $D$를 포함하는 어떤 영역 어느 곳에서나 다변수 벡터함수 $\mathbf{F} = \left(F_{1}(x,y), F_{2}(x,y) \right)$가 연속이고, $\mathbf{F}$의 각 성분이 연속인 편도함수 $\frac{\partial F_{1}}{\partial y}$와 $\frac{\partial F_{2}}{\partial x}$ 를 가진다고 하자. 그러면

$\iint_{D}{{\left( \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} \right)dA=\oint_{C}{ \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} }}} \left( = \oint_{C}{F_1 dx + F_2 dy} \right)$

이다. 여기서 적분은 $D$의 전체경계를 따라 수행되며, $R$은 적분 진행방향의 왼쪽에 위치한다. 즉, 적분 진행방향은 반시계방향이다.

그린 정리와 스토크스 정리의 차이점

그린 정리는 케빈-스토크스 정리의 특수한 경우이다. 스토크스 정리는 곡면에서의 정리이고, 그린 정리는 평면에서로 국한된다.

예

평면위의 각 점마다 벡터가 다음과 같이 할당되어 있다.

$\mathbf{F}(x,y) = (x-y)\mathbf{i} + x\mathbf{j}$

적분영역 $D$는 원점을 중심으로 반지름이 1인 단위원이다.

$\mathbf{r}(t) = (\cos t)\mathbf{i} + (\sin t)\mathbf{j}$

이 벡터함수에 대해 그린정리의 좌변과 우변을 각각 계산하여 등식이 성립하는지 확인한다.

좌변

벡터함수의 편미분들을 계산한다.

$\frac{\partial F_1}{\partial y} = -1,\,\frac{\partial F_2}{\partial x} = 1$

$\iint_{D} \left( \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} \right)dA = \iint_{D} (1-(-1))dxdy = 2\iint_{D} dxdy = 2\pi$

마지막의 등식이 성립하는 이유는 이중적분이 그냥 면적이 되기 때문이다.

우변

원위의 점을 따라가며 형성되는 벡터함수 값을 찾는다.

$F_1 = \cos t - \sin t,\, F_2 = \cos t$

선적분에 필요한 연쇄법칙(Chain rule)을 계산한다.

$dx = d(\cos t) = -\sin t dt, \, dy = d(\sin t) = \cos t dt$

반시계 방향으로 회전하며 우변을 적분한다.

$\int_{C}{F_1 dx + F_2 dy} = \int_{t=0}^{t=2\pi}(\cos t - \sin t)(-\sin t dt)+(\cos t)(\cos t dt) = \int_{0}^{2\pi}(-\sin t \cos t +1)dt = 2\pi$

좌변과 우변이 같음을 확인할 수 있다.

같이 보기

• 그린의 항등식