연쇄법칙

연쇄법칙은 두 함수를 합성한 합성 함수의 도함수에 관한 공식이다.

$(f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$

라이프니츠 표기를 쓰면 다음과 같다.

$\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}$

카라테오도리 보조정리를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환적분이라 한다.

다변수 함수에 대한 연쇄법칙

a ∈ Rⁿ, g : Rⁿ → R^m, f : R^m → R^p라 하자. 만약 g가 a에서 미분가능하고, f가 g(a)에서 미분가능하다면 f∘g는 a에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.

$D(f \circ g) (\mathbf{a}) = Df(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a})$

합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g(x₁, x₂, …, x_n) : Rⁿ → R^m , f(u₁, u₂,…, u_m) : R^m → R 가 a에서 미분가능하다고 하면 Df는 ∇f가 되고 함수 z = f∘g= f(g(x₁, x₂, …, x_n))는 미분가능하고 미분은

$Dz(a) = D(f \circ g) (\mathbf{a}) = Df(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a}) = \nabla f(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a})$

편미분은

$\frac{\partial z}{\partial x_j} = \sum_{i=1}^m {\partial f \over \partial u_i} {\partial u_i \over \partial x_j} = {\partial f \over \partial u_1} {\partial u_1 \over \partial x_j} + {\partial f \over \partial u_2} {\partial u_2 \over \partial x_j} + \cdots + {\partial f \over \partial u_m} {\partial u_m \over \partial x_j}$

이다..