연쇄법칙

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미적분학
v  d  e  h

연쇄법칙은 두 함수를 합성한 합성 함수의 도함수에 관한 공식이다.

 (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)

라이프니츠 표기를 쓰면 다음과 같다.

\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}

카라테오도리 보조정리를 이용하면 간단하게 증명할 수 있다. 연쇄 법칙을 적분에 거꾸로 적용한 것을 치환적분이라 한다.

다변수 함수에 대한 연쇄법칙[편집]

aRn, g : RnRm, f : RmRp라 하자. 만약 ga에서 미분가능하고, fg(a)에서 미분가능하다면 fga에서 미분가능하고 그 값은 아래와 같다.

D(f \circ g) (\mathbf{a}) = Df(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a})

합성함수의 편미분은 일일이 위 행렬을 계산할 필요 없이 간단히 쓸 수 있다. g(x1, x2, …, xn) : RnRm , f(u1, u2,…, um) : RmRa에서 미분가능하다고 하면 Df는 ∇f가 되고 함수 z = fg= f(g(x1, x2, …, xn))는 미분가능하고 미분은

Dz(a) = D(f \circ g) (\mathbf{a}) = Df(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a}) = \nabla f(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a})

편미분은

\frac{\partial z}{\partial x_j} 
= \sum_{i=1}^m {\partial f \over \partial u_i} {\partial u_i \over \partial x_j}
= {\partial f \over \partial u_1} {\partial u_1 \over \partial x_j} 
+ {\partial f \over \partial u_2} {\partial u_2 \over \partial x_j}
+ \cdots
+ {\partial f \over \partial u_m} {\partial u_m \over \partial x_j}

이다..