평균값 정리

평균값 정리(영어: mean value theorem, MVT)는 미적분학의 기본정리와 더불어 미적분학의 뼈대를 떠받치고 있는 매우 중요한 정리이다. 이 정리의 기본적인 아이디어는 실수값 함수에서의 미분 꼴에서 출발하지만, 수많은 일반화와 확장 형식들도 존재한다. 최초의 입안자는 인도의 바타세리 파라메슈바라(Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy)이다.

이 정리의 활용은 미적분학과 해석학의 대부분의 주제에 걸쳐서 나타난다. 초등적인 선에서 중요한 예를 몇 가지 꼽자면, 미적분학의 기본정리를 이 정리를 이용해 증명할 수 있다는 점, 테일러의 정리는 이 정리의 일반화된 형식 중 하나라고 볼 수도 있다는 점, 극값과 고계도함수, 볼록함수, 역함수 등의 취급에 응용되는 점 등이 있다.

개요

평균값의 정리와 그래프

평균값의 정리는 함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$에서 미분 가능일 때

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \, .$

를 만족하는 $c$ 가 열린 구간 $(a, b)$에 반드시 하나 이상 존재한다는 것을 의미한다.

평균값의 정리는 롤의 정리를 일반화 한 것으로 이해할 수 있다. 즉, 롤의 정리가 함수 값이 같은 두 점 $a, b$가 있을 경우 구간 $[a, b]$에서 기울기가 0이 되는 $c$가 반드시 존재한다는 것을 보인다면, 평균값의 정리는 이를 일반화 하여 임의의 구간에서 평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 반드시 존재한다는 것을 나타낸다. 즉 왼쪽의 그래프와 같이 구간의 평균변화율에 상응하는 접선이 존재한다.

1변수 미분 형태

• 정리 : 구간 [a, b]에서 정의된 함수 $f$가 [a, b]에서 연속이며 (a, b)에서 미분가능하다. 그러면,

$f(b)-f(a)=(b-a)f'(x_0)$가 성립하는 $x_0$가 (a, b) 내에 존재한다.

• 증명 : 아래에 나오는 코시의 평균값 정리에서 $g(x)=x$을 취해 얻는다.

코시의 평균값 정리

• 정리 : 구간 [a, b]에서 정의된 함수 $f, g$가 [a, b]에서 연속이며 (a, b)에서 미분가능하다. 그러면,

$f'(x_0)(g(b)-g(a))=g'(x_0)(f(b)-f(a))$가 성립하는 $x_0$가 (a, b) 내에 존재한다.

• 증명 : 함수 h를 $h(x)=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))$로 정의하자.

그러고 나서, 이 함수의 1계 도함수에 대하여 롤의 정리를 적용하면 증명이 끝난다.

여러가지 따름 정리들

1. 모든 $x\in\left( a,b\right)$에 대해서 $f'\left( x\right) =0$이면 $f\left( x\right)$은 $\left( a,b\right)$에서 상수 함수이다.

   (증명) $x_1<x_2$가 되도록 $\left( a,b\right)$에서 원소 두 개를 택하자. $\left( a,b\right)$에서 미분 가능하므로 $\left( x_1,x_2\right)$에서 미분 가능하고 $\left[ x_1,x_2\right]$에서 연속이다. 따라서 평균값 정리에 의하여 $f\left( x_2\right) -f\left( x_1\right) =$$f'\left( c\right)\left( x_2-x_1\right)$를 만족하는 어떤 $c\in\left( x_1,x_2\right)$가 존재한다. 가정에 의하여 $f'\left( c\right) =0$이므로 $f\left( x_2\right) -f\left( x_1\right) =0$이다. 즉, $f\left( x_1\right) =f\left( x_2\right)$이다. $\left( a,b\right)$에 속하는 어떤 두 원소에 대해서도 $f\left( x_1\right) =f\left( x_2\right)$이 성립하므로 $f\left( x\right)$은 $\left( a,b\right)$에서 상수 함수이다.

2. 모든 $x\in\left( a,b\right)$에 대해서 $f'\left( x\right) =g'\left( x\right)$이면 $f\left( x\right)$와 $g\left( x\right)$는 상수 차이이다.

   (증명) 함수 $F\left( x\right)$를 $f\left( x\right) -g\left( x\right)$로 잡자. 모든 $x\in\left( a,b\right)$에 대해서 $F'\left( x\right) =f'\left( x\right) -g'\left( x\right) =0$이므로 따름 정리 1.에 의하여 $F\left( x\right)$는 상수 함수이다. 즉, $f\left( x\right)$와 $g\left( x\right)$는 상수 차이이다

1변수 적분 형태

이 정리의 적분 형식에는 두 가지가 있다. 통상 적분의 평균값 정리라고 칭하는 것은 제1형식이다.

제1형식

• 정리 : 구간 [a, b]에서 정의된 두 함수 $f, g$에 대하여, 전자는 [a, b]에서 연속이며 후자는 [a, b]에서 헨스톡-커즈와일 적분 가능하고 부호가 일정할 때, $fg$도 헨스톡-커즈와일 적분이 가능하면,

$\int_a^b fg=f(x_0) \int_a^b g$ 가 되는 $x_0$가 [a, b]에 존재한다.

• 증명 : f가 [a, b]에서 연속이므로 최대·최소 정리에 의해 최대값 M과 최소값 m이 존재하여 $m\le f\le M$ 을 만족한다. 그러므로 $m\int_a^b g\le \int_a^b fg\le M\int_a^b g$ 에서, $m\le \frac{\int_a^b fg}{\int_a^b g}\le M$ 이므로 중간값 정리에 의해 $\frac{\int_a^b fg}{\int_a^b g}=f(x_0)$ 이 되는 $x_0$이 [a, b]에 존재하여 증명이 끝난다.

제2형식

• 정리 : 구간 [a, b]에서 정의된 두 함수 $f, g$에 대하여, 전자는 [a, b]에서 단조이며 후자는 [a, b]에서 헨스톡-커즈와일 적분 가능하고 부호가 음이 아닐 때,

$\int_a^b fg=f(a) \int_a^c {g} + f(b) \int_c^b g$ 가 되는 $c$가 [a, b]에 존재한다.

• 증명 : f를 편의상 단조증가로 가정하면, $f(a)\int_a^b g\le \int_a^b fg\le f(b)\int_a^b g$ 가 성립한다. 이것을 $h(c)=f(a) \int_a^c {g} + f(b) \int_c^b g$로 놓고 다시 쓰면 $h(b)\le \int_a^b fg\le h(a)$ 와 같다. 그런데 g의 부호가 음이 아니므로, $h(c)$는 단조이고, 미적분학의 기본정리에 의하여 연속함수이다. 따라서 여기에 중간값의 정리를 적용하면 증명이 끝난다.

다변수 미분 형태

• 정리 : n차 유클리드 공간 $R^{n}$ 내의 개집합 G에서 $R^{m}$으로 가는, G 위에서 미분가능한 함수 f를 생각하자. 둘 사이를 잇는 선분이 G의 부분집합인 두 원소 $x, a$에 대하여 임의의 $R^{m}$ 내의 원소 $k$가 주어졌을 때,

$\mathbf{k}\cdot(f(\mathbf{x})-f(\mathbf{a}))=\mathbf{k}\cdot(Df(\mathbf{c})(\mathbf{x}-\mathbf{a}))$ 를 만족하는 $x$와 $a$를 잇는 선분 상의 $c$가 존재한다.

• 증명 : 실수값 함수 g를 $g(t)=\mathbf{a}+t(\mathbf{x-a})$ 와 같이 정의하자. 연쇄 법칙에 따라서, $D(f\circ g)(t)=Df(g(t))(\mathbf{x-a})$가 성립한다. 또 함수 F를 $F(t)=\mathbf{u}\cdot(f\circ g)(t)$로 정의하고, G는 개집합이므로 실수축에서 적당한 길이의 길이 1인 [a, b]를 포함하는 구간 L을 선택하여, 함수 g와 F의 정의역을 L로 한정시킨다. 그러면 F는 L 위에서 미분가능하여 $F'(t)=\mathbf{u}\cdot D(f\circ g)(t)=\mathbf{u}\cdot (Df(g(t))(\mathbf{x-a})$를 만족한다. 이제 실 1변수 함수의 평균값 정리에 의해, $\mathbf{u}\cdot (f(\mathbf{x})-f(\mathbf{a}))=F(b)-F(a)=F'(t_0)=\mathbf{u}\cdot (Df(g(t_0))(\mathbf{x-a}))$ 가 성립하는 $t_0$가 구간 [a, b]내에 존재하므로, $g(t_0)=\mathbf{c}$라 두면 증명이 끝난다.

볼록집합의 경우

특히 볼록집합에 대해서는 보다 1변수의 경우와 유사한 평균값 정리의 따름정리가 성립한다.

• n차 유클리드 공간 $R^{n}$ 내의 개집합 G에서 $R$로 가는, G 위에서 미분가능한 함수 f를 생각하자. 만약 G가 볼록집합이라면, G의 원소 a+h, a에 대하여 적당한 t가 (0, 1)에 존재하여 다음을 만족한다.

$f(\mathbf{a}+\mathbf{h})-f(\mathbf{a})=Df(\mathbf{a}+t\mathbf{h})\mathbf{h}.$

볼록집합이 아닌 경우 이상의 꼴은 일반적으로 성립하지 않는다.

복소 적분 형태

• 정리 : 복소평면 상에서 어떤 점 $z_0$을 중심으로 하는 반지름 $r$인 원 내에서 정칙인 함수 $f$에 대하여,

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0+re^{it}) \,dt$ 가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리라고 한다.

• 증명 : 코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다.

$f(z)=u(z)+iv(z)$일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리라고 한다.

$u(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(z_0+re^{it}) \,dt$

같이 보기

• 롤의 정리
• 미적분학의 기본정리
• 조화 함수
• 중간값 정리
• 최대·최소 정리
• 최대 절대값 원리
• 카라테오도리 보조정리
• 테일러 급수
• 평균
• 뉴마크-베타 방법

참고문헌

• 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
• 김락중 외, 『해석학 입문(3판)』, 경문사, 2007
• Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
• James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7