평균값 정리

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미적분학
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평균값 정리(영어: mean value theorem, MVT)는 미적분학의 기본정리와 더불어 미적분학의 뼈대를 떠받치고 있는 매우 중요한 정리이다. 이 정리의 기본적인 아이디어는 실수값 함수에서의 미분 꼴에서 출발하지만, 수많은 일반화와 확장 형식들도 존재한다.

이 정리의 활용은 미적분학과 해석학의 대부분의 주제에 걸쳐서 나타난다. 초등적인 선에서 중요한 예를 몇 가지 꼽자면, 미적분학의 기본정리를 이 정리를 이용해 증명할 수 있다는 점, 테일러의 정리는 이 정리의 일반화된 형식 중 하나라고 볼 수도 있다는 점, 극값고계도함수, 볼록함수, 역함수 등의 취급에 응용되는 점 등이 있다.

개요[편집]

평균값의 정리와 그래프

평균값의 정리는 함수 f(x) 가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간 (a, b)에서 미분 가능일 때

 f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \, .

를 만족하는 c 가 열린 구간 (a, b)에 반드시 하나 이상 존재한다는 것을 의미한다. [1]

평균값의 정리는 롤의 정리를 일반화 한 것으로 이해할 수 있다. 즉, 롤의 정리가 함수 값이 같은 두 점 a, b가 있을 경우 구간 [a, b]에서 기울기가 0이 되는 c가 반드시 존재한다는 것을 보인다면, 평균값의 정리는 이를 일반화 하여 임의의 구간에서 평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 반드시 존재한다는 것을 나타낸다. 즉 왼쪽의 그래프와 같이 구간의 평균변화율에 상응하는 접선이 존재한다. [2]

1변수 미분 형태[편집]

  • 정리 : 구간 [a, b]에서 정의된 함수 f가 [a, b]에서 연속이며 (a, b)에서 미분가능하다. 그러면,
f(b)-f(a)=(b-a)f'(x_0)가 성립하는 x_0가 (a, b) 내에 존재한다.
  • 증명 : 아래에 나오는 코시의 평균값 정리에서 g(x)=x을 취해 얻는다.

코시의 평균값 정리[편집]

  • 정리 : 구간 [a, b]에서 정의된 함수 f, g가 [a, b]에서 연속이며 (a, b)에서 미분가능하다. 그러면,
f'(x_0)(g(b)-g(a))=g'(x_0)(f(b)-f(a))가 성립하는 x_0가 (a, b) 내에 존재한다.
  • 증명 : 함수 h를 h(x)=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a))로 정의하자.
그러고 나서, 이 함수의 1계 도함수에 대하여 롤의 정리를 적용하면 증명이 끝난다.

여러가지 따름 정리들[편집]

  1. 모든 x\in\left( a,b\right)에 대해서 f'\left( x\right) =0이면 f\left( x\right)\left( a,b\right)에서 상수 함수이다.
    (증명) x_1<x_2가 되도록 \left( a,b\right)에서 원소 두 개를 택하자. \left( a,b\right)에서 미분 가능하므로 \left( x_1,x_2\right)에서 미분 가능하고 \left[ x_1,x_2\right]에서 연속이다. 따라서 평균값 정리에 의하여 f\left( x_2\right) -f\left( x_1\right) =f'\left( c\right)\left( x_2-x_1\right)를 만족하는 어떤 c\in\left( x_1,x_2\right)가 존재한다. 가정에 의하여 f'\left( c\right) =0이므로 f\left( x_2\right) -f\left( x_1\right) =0이다. 즉, f\left( x_1\right) =f\left( x_2\right)이다. \left( a,b\right)에 속하는 어떤 두 원소에 대해서도 f\left( x_1\right) =f\left( x_2\right)이 성립하므로 f\left( x\right)\left( a,b\right)에서 상수 함수이다.
  2. 모든 x\in\left( a,b\right)에 대해서 f'\left( x\right) =g'\left( x\right)이면 f\left( x\right)g\left( x\right)는 상수 차이이다.
    (증명) 함수 F\left( x\right)f\left( x\right) -g\left( x\right)로 잡자. 모든 x\in\left( a,b\right)에 대해서 F'\left( x\right) =f'\left( x\right) -g'\left( x\right) =0이므로 따름 정리 1.에 의하여 F\left( x\right)상수 함수이다. 즉, f\left( x\right)g\left( x\right)는 상수 차이이다

1변수 적분 형태[편집]

이 정리의 적분 형식에는 두 가지가 있다. 통상 적분의 평균값 정리라고 칭하는 것은 제1형식이다.

제1형식[편집]

  • 정리 : 구간 [a, b]에서 정의된 두 함수 f, g에 대하여, 전자는 [a, b]에서 연속이며 후자는 [a, b]에서 헨스톡-커즈와일 적분 가능하고 부호가 일정할 때, fg도 헨스톡-커즈와일 적분이 가능하면,
\int_a^b fg=f(x_0) \int_a^b g 가 되는 x_0가 [a, b]에 존재한다.
  • 증명 : f가 [a, b]에서 연속이므로 최대·최소 정리에 의해 최대값 M과 최소값 m이 존재하여 m\le f\le M 을 만족한다. 그러므로 m\int_a^b g\le \int_a^b fg\le M\int_a^b g 에서, m\le \frac{\int_a^b fg}{\int_a^b g}\le M 이므로 중간값 정리에 의해 \frac{\int_a^b fg}{\int_a^b g}=f(x_0) 이 되는 x_0이 [a, b]에 존재하여 증명이 끝난다.

제2형식[편집]

  • 정리 : 구간 [a, b]에서 정의된 두 함수 f, g에 대하여, 전자는 [a, b]에서 단조이며 후자는 [a, b]에서 헨스톡-커즈와일 적분 가능하고 부호가 음이 아닐 때,[3]
\int_a^b fg=f(a) \int_a^c {g} + f(b) \int_c^b g 가 되는 c가 [a, b]에 존재한다.
  • 증명 : f를 편의상 단조증가로 가정하면, f(a)\int_a^b g\le \int_a^b fg\le f(b)\int_a^b g 가 성립한다. 이것을 h(c)=f(a) \int_a^c {g} + f(b) \int_c^b g로 놓고 다시 쓰면 h(b)\le \int_a^b fg\le h(a) 와 같다. 그런데 g의 부호가 음이 아니므로, h(c)는 단조이고, 미적분학의 기본정리에 의하여 연속함수이다. 따라서 여기에 중간값의 정리를 적용하면 증명이 끝난다.

다변수 미분 형태[편집]

  • 정리 : n차 유클리드 공간 R^{n} 내의 개집합 G에서 R^{m}으로 가는, G 위에서 미분가능한 함수 f를 생각하자. 둘 사이를 잇는 선분이 G의 부분집합인 두 원소 x, a에 대하여 임의의 R^{m} 내의 원소 k가 주어졌을 때,
\mathbf{k}\cdot(f(\mathbf{x})-f(\mathbf{a}))=\mathbf{k}\cdot(Df(\mathbf{c})(\mathbf{x}-\mathbf{a})) 를 만족하는 xa를 잇는 선분 상의 c가 존재한다.
  • 증명 : 실수값 함수 g를 g(t)=\mathbf{a}+t(\mathbf{x-a}) 와 같이 정의하자. 연쇄 법칙에 따라서, D(f\circ g)(t)=Df(g(t))(\mathbf{x-a})가 성립한다. 또 함수 F를 F(t)=\mathbf{u}\cdot(f\circ g)(t)로 정의하고, G는 개집합이므로 실수축에서 적당한 길이의 길이 1인 [a, b]를 포함하는 구간 L을 선택하여, 함수 g와 F의 정의역을 L로 한정시킨다. 그러면 F는 L 위에서 미분가능하여 F'(t)=\mathbf{u}\cdot D(f\circ g)(t)=\mathbf{u}\cdot (Df(g(t))(\mathbf{x-a})를 만족한다. 이제 실 1변수 함수의 평균값 정리에 의해, \mathbf{u}\cdot (f(\mathbf{x})-f(\mathbf{a}))=F(b)-F(a)=F'(t_0)=\mathbf{u}\cdot (Df(g(t_0))(\mathbf{x-a})) 가 성립하는 t_0가 구간 [a, b]내에 존재하므로, g(t_0)=\mathbf{c}라 두면 증명이 끝난다.

볼록집합의 경우[편집]

특히 볼록집합에 대해서는 보다 1변수의 경우와 유사한 평균값 정리의 따름정리가 성립한다.

  • n차 유클리드 공간 R^{n} 내의 개집합 G에서 R로 가는, G 위에서 미분가능한 함수 f를 생각하자. 만약 G가 볼록집합이라면, G의 원소 a+h, a에 대하여 적당한 t가 (0, 1)에 존재하여 다음을 만족한다.
f(\mathbf{a}+\mathbf{h})-f(\mathbf{a})=Df(\mathbf{a}+t\mathbf{h})\mathbf{h}.

볼록집합이 아닌 경우 이상의 꼴은 일반적으로 성립하지 않는다.

복소 적분 형태[편집]

  • 정리 : 복소평면 상에서 어떤 점 z_0을 중심으로 하는 반지름 r 내에서 정칙인 함수 f에 대하여,
f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0+re^{it}) \,dt 가 성립한다. 이것을 가우스의 평균값 정리라고 한다.

f(z)=u(z)+iv(z)일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리라고 한다.

u(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(z_0+re^{it}) \,dt

역사[편집]

이 정리의 최초의 입안자는 인도바타세리 파라메슈바라(Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며[4] 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Weisstein, Eric. "Mean-Value Theorem". MathWorld. Wolfram Research. Retrieved 24 March 2011.
  2. 정용욱, 대학수학, 기전연구사, 2008, ISBN 8933607714, 115-120 쪽
  3. 헨스톡-커즈와일 적분의 곱 정리에 의하면, 같은 폐구간에서 정의된 두 함수의 경우 한 쪽이 헨스톡-커즈와일 적분 가능하고 한 쪽이 단조함수이면 이 두 함수의 곱 역시 헨스톡-커즈와일 적분 가능하다.
  4. J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2000). 영어: Paramesvara를 보라

참고문헌[편집]

  • 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
  • 김락중 외, 『해석학 입문(3판)』, 경문사, 2007
  • Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
  • James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7