아벨 변환

아벨 변환(Abel transformation, -變換), 아벨의 보조정리(Abel's lemma, -補助定理), 아벨의 부분합 공식(Abel's partial summation formula, -部分合 公式)은 두 수열의 곱으로 이루어진 무한급수의 계산을 위한 변환 기법을 보여 주는 정리로, 이를 이용하면 적분에서 부분적분과 유사한 결과를 얻을 수 있다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다.

공식

임의의 복소수 수열 {a_n}과 {b_n}에 대해, 임의의 자연수 n≥m≥1에 관해 $A_{n,m}$ 을 다음과 같이 정의한다.

• $A_{n,m} := \sum_{k=m}^n a_k,$

그러면, n≥m≥1인 모든 정수 n, m에 대하여 다음 공식이 성립한다.

• $\sum_{k=m}^n a_kb_k = A_{n,m}b_n - \sum_{k=m}^{n-1} A_{k,m}(b_{k+1} - b_k).$

이 식은 단순히 식을 전개하고 재배열하여 증명할 수 있다.

응용

이 식을 이용하여 유명한 교대급수 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}$가 수렴함을 증명해 보자. $a_k = (-1)^k$, $b_k = \frac{1}{k}$ 로 놓고 1부터 n까지 더한 식에 아벨 변환을 적용하면, $A_{k,1} = 0$(k가 짝수) 또는 $= -1$(k가 홀수) 다음과 같이 된다.([]는 가우스 함수)

• $\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} = A_{n,1}b_n - \sum_{k=1}^{n-1}A_{k,1}(b_{k+1} - b_k) = A_{n,1}b_n - \sum_{k=1}^{[n/2]}\frac{1}{2k(2k-1)}$

그런데 우변의 첫 항 $A_{n,1}b_n$은 무한대에서 0으로 수렴하므로, 결론적으로 이 교대급수는 이렇게 변환된다.

• $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} = -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k(2k-1)}.$

마지막 항은 비교판정법에 의하여 수렴하는 급수이다.

같이 보기

• 부분적분
• 아벨의 합 공식
• 아벨 판정법

참고 문헌

• 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007.