부분적분

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미적분학
v  d  e  h

미적분학에서 부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분곱셈 법칙에서 유도할 수 있다.

법칙[편집]

두 미분가능한 연속 함수 f(x)g(x)에 대해서, 적분 구간이 [a, b] 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  f'(x) g(x)\,dx

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.

\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).

이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.

 f(b)g(b) - f(a)g(a)\, = \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx
=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx

부정적분의 경우에는 다음과 같다.

\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x)\,dx

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.

\int u\,dv = u v - \int v\,du

여기서, u = f(x),\ v = g(x)이고, du = f'(x) dx,\ dv = g'(x) dx이다.

예제[편집]

x cos x의 적분[편집]

다음 식을 적분한다.

\int x\cos x \,dx

이때, u = x,\ du = dx,\ dv = \cos x \, dx,\  v = \sin x와 같이 가정하면

\int x\cos x \,dx = \int u \,dv
= uv - \int v \,du

가 되어,

\int x\cos x \,dx = x\sin x - \int \sin x \,dx
\int x\cos x \,dx = x\sin x + \cos x + C

와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, C는 적분 상수이다.

ex cos x 의 적분[편집]

\int e^{x} \cos x \,dx

이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

u = \cos x, du = -\sin x \, dx
dv = e^x dx,\ v = e^x

이때,

\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin x \,dx

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

u = \sin x\;;\ du = \cos x \, dx
v = e^x\;;\ dv = e^x dx

그러면,

\int e^{x} \sin x \,dx = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx

이므로, 함께 적으면,

\int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} \cos x + e^x \sin x - \int e^{x} \cos x \,dx

임을 알 수 있다.

자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,

2 \int e^{x} \cos x \,dx = e^{x} ( \sin x + \cos x )

이고, 2로 나눠

\int e^{x} \cos x \,dx = {e^{x} ( \sin x + \cos x ) \over 2}

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

ln x 의 적분[편집]

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 x를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는, \int \ln x \,dx 이다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int (\ln x) \cdot 1 \,dx

다음과 같이 가정하면,

u = \ln x\;;\ du = \frac 1 x dx
v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx
\int \ln x \,dx = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx
= x \ln x - \int 1 \,dx
\int \ln x \,dx = x \ln x - {x} + {C}
\int \ln x \,dx = x ( \ln x - 1 ) + C

이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.

arctan x의 적분[편집]

두 번째 예는 \int \arctan x \,dx이다. 여기서 \arctan 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\int 1 \cdot \arctan x \,dx

다음과 같이 가정하면,

u = \arctan x\;;\ du = \frac 1 {1+x^2} dx
v = x\;;\ dv = 1 \cdot dx
\int \arctan x \,dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx
= x \arctan x - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C

임을 확인 할 수 있다.

문제 해결의 전략[편집]

부분적분은 적분을 하는 데 있어 기계적인 풀이라기 보다는 좀 더 발견적(heuristic)에 가깝다. 그러므로 적분을 하려는 두 함수 중 어떤 것을 udv에 각각 대입할지를 선택하는 것이 중요하다. 이를 선택할 때 유용한 방법이 LIATE 법칙이다. 아래의 순서에서 먼저 일치하는 함수를 u에 대입한다.

L: 로그 함수 (Logarithmic)
I: 역 삼각함수 (Inverse trigonometric)
A: 대수적 함수 (Algebraic)
T: 삼각 함수 (Trigonometric)
E: 지수 함수 (Exponential)

u를 대입한 후 남은 함수는 dv에 대입한다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다. 브래들리 대학의 Herbert Kasube가 LIATE 법칙을 제안하였다고 한다.[1]

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 출처는 영문 위키피디아