미분소

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미분소(微分素)는 함수의 무한히 작은 변화값을 나타내는 무한소 값으로, \mathrm d x와 같이 나타낸다. 보통 함수의 작은 변화값을 나타내는 기호로는 Δx, δx 등이 사용되지만, dx는 무한히 작은 값을 의미한다.

예를 들어, y가 x에 대한 함수일 때, x의 변화량 dx에 대한 y의 변화량 dy는 다음과 같다.

\mathrm d y = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} \mathrm d x

여기에서 dy/dx는 y를 x로 미분한 도함수로, dy를 dx로 나눈 값과 같다. 즉, Δx가 무한히 작은 경우 Δy/Δx는 y의 도함수가 된다.

미분소를 수학적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있고, 이때 미분소는 일반적인 실수 범위의 수는 아니며, 선형 변환, 비표준해석학, 닐포텐트(nilpotent) 등의 방법으로 정의할 수 있다.

곡선의 길이과 미분소[편집]

유클리드 공간 \mathbb{R}^3에 존재하는 \mathbf{c}\left( t\right) =x\left( t\right)\mathbf{i}+y\left( t\right)\mathbf{j}+z\left( t\right)\mathbf{k}를 따라 운동하는 물체의 무한소 변위는 다음과 같다.

d\mathbf{s}=dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k}=\left(\frac{dx}{dt}\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\mathbf{k}\right) dt

그리고 그 길이는

ds=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt

곡선길이의 미분소 라고한다.

이 개념을 이용하면 곡선의 길이를 다음과 같이 아주 간단하게 나타낼 수 있다.

\int_{t_0}^{t_1}ds

참고 문헌[편집]

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0