곡선

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수학에서 곡선(曲線)은 연속적으로 움직이는 점의 자취로 점들의 집합이다. 직관적으로 말하면 끊어진 부분이 없는 1차원 기하학적 대상이 곡선이다. 간단한 예로 포물선, 원을 들 수 있다. 일상생활에서는 직선과 곡선을 구분하지만 수학용어로서 곡선은 직선과 선분을 모두 포함하며, 곡선은 종종 함수, 함수의 그래프와 같은 의미로 사용된다.

[편집] 정의

수학에서 (위상적인) 곡선은 다음과 같이 정의된다. $I$ ' 를 수직선 위의 한 구간 (즉, 공집합이 아니며 실수 $\mathbb{R}$ 의 연결된 부분집합)이라고 할 때, 곡선 $\!\,\gamma$ 는 연속인 사상 $\,\!\gamma : I \rightarrow X$ 를 말한다. 여기서 $X$ 는 위상공간이다. $\!\,\gamma$ 가 일대일 함수일 경우, 즉 $I$ 에 속하는 두 점 $x$ , $y$ 에 대해 $\,\!\gamma(x) = \gamma(y) \implies x = y$ 이면, 그 곡선을 "단순곡선(simple curve)라고 한다. 만약 $I$ 가 유계(有界)이고 닫힌 구간 $\,\![a, b]$ 이면, $\,\!\gamma(a) = \gamma(b)$ 경우도 단순곡선으로 간주한다. 구간 $I$ 의 양끝 점이 아닌 두 점 $x\ne y$ 에 대해 $γ(x) = γ(y)$ 이면, $γ(x)$ 를 곡선의 다중점(multiple point)이라고 한다. $\,\!I = [a, b]$ 일 때 $\!\,\gamma(a) = \gamma(b)$ 이면, $\!\,\gamma$ 를 닫힌곡선(closed curve 또는 loop)라고 한다. 특히 다중점을 갖지 않는 닫힌곡선을 단순닫힌곡선(simple closed curve), 또는 조르당 곡선(Jordan curve)이라고 한다. 조르당 곡선은 평면은 내부와 외부로 나눈다.(조르당 곡선 정리, Jordan curve theorem) 곡선 $\,\!\gamma : I \rightarrow X$ 의 공역 "X"가 유클리드 평면인 경우 평면곡선(plane curve)이라고 한다. "공간 곡선"(space curve)은 통상 "X"가 삼차원 유클리드 공간인 경우의 곡선을 말한다. 꼬인 곡선(skew curve)은 공간곡선으로 어떤 평면에도 놓일 수 없는 곡선을 말한다.