비표준해석학

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비표준해석학(非標準解析學, 영어: nonstandard analysis)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다.

정의[편집]

\mathbb{R}실수이고, \mathbb{N}자연수모노이드이라고 하자. 그렇다면 \mathbb{R}^{\mathbb N}은 실수들의 수열들의 집합이다. 초실수 {}^*\mathbb R\mathbb{R}^{\mathbb N}의 적절한 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 극대필터 \mathcal F\subset \mathcal P(\mathbb N)를 고르자. (특히, \mathcal{F}프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 극대필터는 선택공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 극대필터를 사용하여, 두 수열 u,v\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} 사이에 다음과 같은 동치관계를 줄 수 있다.

u\sim v\iff\{n\in\mathbb N\colon u_n =v_n\} \in \mathcal F

동치관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 를 이루며, 이를 초실수의 체로 정의한다.

{}^*\mathbb{R}=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}/\mathcal F

같이 보기[편집]

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