비표준해석학

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비표준해석학(非標準解析學, 영어: nonstandard analysis)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다.

정의[편집]

\mathbb{R}실수이고, \mathbb{N}자연수모노이드이라고 하자. 그렇다면 \mathbb{R}^{\mathbb N}은 실수들의 수열들의 집합이다. 초실수 {}^*\mathbb R\mathbb{R}^{\mathbb N}의 적절한 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 극대필터 \mathcal F\subset \mathcal P(\mathbb N)를 고르자. (특히, \mathcal{F}프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 극대필터는 선택공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 극대필터를 사용하여, 두 수열 u,v\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} 사이에 다음과 같은 동치관계를 줄 수 있다.

u\sim v\iff\{n\in\mathbb N\colon u_n =v_n\} \in \mathcal F

동치관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 를 이루며, 이를 초실수의 체로 정의한다.

{}^*\mathbb{R}=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}/\mathcal F

실해석학의 구현[편집]

실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 초실수를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다.

극한과 미분[편집]

함수 {}^*f\colon\mathbb R^*\to\mathbb R^*a\in\mathbb R^*에서의 극한은 다음과 같다.

\lim_{x\to a}{}^*f(x)=L\iff\forall b\approx a\colon f(b)\approx L\qquad(L\in\mathbb R)

함수 {}^*f\colon{}^*\mathbb R\to{}^*\mathbb R가 다음 조건을 만족시키면, 연속함수라고 한다.

  • 모든 x,y\in\mathbb R^*에 대하여, 만약 x\approx y라면 f(x)\approx f(y)이다.

함수 {}^*f\colon{}^*\mathbb R\to{}^*\mathbb Rx\in\mathbb R에 대하여, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 0이 아닌 두 무한소 \epsilon_1,\epsilon_2\in{}^*\mathbb R에 대하여,

\frac{{}^*f(x+\epsilon_1)-f(x)}{\epsilon_1}
\approx\frac{{}^*f(x+\epsilon_2)-f(x)}{\epsilon_2}

이 경우 {}^*fx\in\mathbb R에서 미분 가능하다고 하고, f도함수

{}^*f'(x)=\operatorname{st}\left(\frac{{}^*f(x+\epsilon)-{}^*f(x)}{\epsilon}\right)\in\mathbb R

이다.

1차 논리로 정의할 수 있는 실함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R에 대하여, 이에 대응하는 비표준 확대

{}^*f\colon{}^\mathbb R\to{}^*\mathbb R

에 대하여, 다음이 동치이다.

  • \lim_{x\to a}f(x)=b
  • \lim_{x\to a}{}^*f(x)=b

또한, 다음이 동치이다.

  • a\in\mathbb R에서 f는 연속함수이다.
  • a\in\mathbb R에서 {}^*f는 연속함수이다.

또한, 다음이 동치이다.

  • a\in\mathbb R에서 f는 미분 가능하며, f'(a)=b이다.
  • a\in\mathbb R에서 {}^*f는 미분 가능하며, f'(a)=b이다.

적분[편집]

초실수 체계에서, 리만 적분aa + dxa + 2dx, ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx는 무한소이며, n은 무한의 초정수이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx인 관계를 따른다.[1]

[편집]

함수 f(x)=x^2의 도함수는 비표준적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. dx\in{}^*\mathbb R가 임의의 무한소라고 하자. 그렇다면 임의의 x\in\mathbb R에 대하여 다음과 같다.

f'(x)=\operatorname{st}\left(\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}\right)=\operatorname{st}(2x+dx)=2x

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Keisler, H. Jerome (1994년). 〈The hyperreal line〉, Philip Ehrlich: 《Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua》, Synthèse Library 242. Kluwer, 207–237쪽. doi:10.1007/978-94-015-8248-3_8. MR1340464. Zbl 0964.03535. ISBN 978-90-481-4362-7

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]