함수의 극한

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미적분학
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x에 대한 함수 f(x)에서, x가 어떤 값 a에 한없이 가까워지면 f(x)도 어떤 값 c에 한없이 가까워질 때 f(x)c수렴한다고 한다. 이것을 기호로 표현하면,

x\,\to\,a가 된다. 예를 들어, f(x)x \ge 0일 때 1, x < 0일 때 0을 가지는 함수라면  \lim_{x \to 0-0}f(x) = 0 ,  \lim_{x \to 0+0}f(x) = 1 이 된다.

0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.

수학적 정의[편집]

일변수 함수의 극한의 정의[편집]

일변수 함수의 극한은 일반적으로 엡실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의한다.

모든 양의 실수 \epsilon에 대해, 어떠한 실수 \delta가 존재하여 0 < | x - p | < \delta일 때 항상 | f(x) - c | < \epsilon가 성립하면, 이때의 극한값은

\lim_{x \to p}f(x) = c

로 정의한다.

좌극한과 우극한도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 \delta에 대한 조건이 0 < | x - p | < \delta대신, 좌극한의 경우 0 < p - x < \delta, 우극한의 경우 0 < x - p < \delta가 된다.

무한과 관계되는 극한들[편집]

\lim_{x \to \infty}f(x) = L \, : \ x가 양의 무한대로 커질 때 f(x)\,L\,에 가까워진다.

x가 어떠한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 극한값을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 \epsilon에 대해, 어떠한 실수 S가 존재하여 x > S(양의 무한대) 또는 x < S(음의 무한대)일 때 항상 | f(x) - c | < \epsilon가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.

  • 양의 무한대: \lim_{x \to \infty}f(x) = c
  • 음의 무한대: \lim_{x \to -\infty}f(x) = c

발산[편집]

극한이 존재하지 않는 경우를 발산한다고 한다. 이때 함수값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다. 예를 들어, f(x) = \frac{1}{x^2}의 경우 x0에 가까워질 때 f(x)는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다. 이를 엄밀하게 정의하면 다음과 같다. 모든 양의 실수 M에 대해, 어떠한 실수 \delta가 존재하여 0<|x-p|<\delta일 때 항상 f(x)>M가 성립하면, 이때의 극한 값은

\lim_{x\to p}f(x)=+\infty

로 정의한다. 음의 무한대로 발산할 경우 마찬가지로 모든 음의 실수 N에 대해, 어떠한 실수 \delta가 존재하여 0<|x-p|<\delta일 때 항상 f(x)<N가 성립하면, 이때의 극한 값은

\lim_{x\to p}f(x)=-\infty

로 정의한다.

다변수 함수의 극한의 정의[편집]

f:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m이며 A열린 집합일 때 \mathbf{x}_0A의 원소 또는 경계에서 택하고 어떤 \mathbf{b}\in\mathbb{R}^m근방 N을 정의하자. 만약 \mathbf{x}\ne\mathbf{x}_0,~\mathbf{x}\in U,~\mathbf{x}\in A\Rightarrow f(\mathbf{x})\in N인 어떤 \mathbf{x}_0근방 U가 존재하면 그 함수 f\mathbf{x}\mathbf{x}_0로 접근할 때 결국 N에 속하게 된다 라고 표현한다. 더욱이 모든 \mathbf{b}근방 N에 대하여 함수 f\mathbf{x}\mathbf{x}_0로 접근할 때 결국 N에 속하게 되면 \mathbf{x}\mathbf{x}_0로 접근할 때 f(\mathbf{x})\mathbf{b}로 접근한다 라고 표현하며 이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b} 또는 f(\mathbf{x})\to\mathbf{b}~\mbox{as}~\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0

만약 \mathbf{x}\mathbf{x}_0로 접근할 때 f(\mathbf{x})가 어떤 점으로 접근하지 않는 경우에는 \lim{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})가 존재하지 않는다 고 표현한다.

엡실론-델타 논법을 이용한 정의[편집]

일변수 함수의 극한을 정의했던 비슷한 방식으로 다변수 함수의 극한을 엡실론-델타 논법을 이용하여 정의할 수 있다.

f:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m로 정의하고 \mathbf{x}_0A의 원소 또는 경계에서 택하자. 그렇다면 모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 어떤 양의 실수 \delta가 존재하여 0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta를 만족하는 모든x\in A\| f(\mathbf{x}-\mathbf{b}\| <\epsilon를 만족한다\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}필요충분조건이다.

증명[편집]

참고: D_r(\mathbf{x})는 중심이 \mathbf{x}이고 반지름이 r열린 공이다.

필요조건
양의 실수 \epsilon을 임의로 잡고, 잡은 \epsilon에 대해 \mathbf{b}근방중 중심이 \mathbf{b}이며 반지름이 \epsilon열린 공 N=D_\epsilon (\mathbf{b})를 생각하자.
다변수 함수의 극한의 정의에 의하여 f\mathbf{x}\mathbf{x}_0로 접근할 때 결국 D_\epsilon (\mathbf{b})에 속하게 된다. 즉, \mathbf{x}\ne\mathbf{x}_0,~\mathbf{x}\in U,~\mathbf{x}\in A\Rightarrow f(\mathbf{x})\in D_\epsilon (\mathbf{b})인 어떤 \mathbf{x}_0근방 U가 존재한다.
U근방의 정의에 의하여 \mathbf{x}_0를 포함하는 열린 집합이므로 열린 집합의 정의에 의하여 D_\delta (\mathbf{x}_0)\sub U를 만족하는 어떤 양의 실수 \delta가 존재한다.
따라서 \mathbf{x}\ne\mathbf{x}_0,~\mathbf{x}\in D_\delta (\mathbf{x}_0)\sub U,~\mathbf{x}\in A\Rightarrow f(\mathbf{x})\in D_\epsilon (\mathbf{b})이고 열린 공의 정의에 의하여 0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta를 만족하는 모든x\in A\| f(\mathbf{x}-\mathbf{b}\| <\epsilon를 만족한다.
정리하면 모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 어떤 양의 실수 \delta가 존재하여 0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta를 만족하는 모든x\in A\| f(\mathbf{x}-\mathbf{b}\| <\epsilon를 만족하고 이는 엡실론-델타 논법을 이용한 정의이다.
그러므로 다변수 함수의 극한의 정의는 엡실론-델타 논법을 이용한 정의의 필요조건이다.
충분조건
어떤 \mathbf{b}\in\mathbb{R}^m근방 N을 정의하자. N근방의 정의에 의하여 \mathbf{b}를 포함하는 열린 집합이므로 열린 집합의 정의에 의하여 D_\epsilon (\mathbf{b})\sub N를 만족하는 어떤 양의 실수 \epsilon이 존재한다.
엡실론-델타 논법을 이용한 정의에 의하여 어떤 양의 실수 \delta가 존재하여 0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta를 만족하는 모든x\in A\| f(\mathbf{x}-\mathbf{b}\| <\epsilon를 만족한다.
이때 UD_\delta (\mathbf{x}_0)로 잡아주면 열린 공의 정의에 의하여 \mathbf{x}\ne\mathbf{x}_0,~\mathbf{x}\in U,~\mathbf{x}\in A\Rightarrow f(\mathbf{x})\in D_\epsilon (\mathbf{b})\sub N이다. 즉, 함수 f\mathbf{x}\mathbf{x}_0로 접근할 때 결국 N에 속하게 된다.
\mathbf{b}의 모든 근방 N에 대하여 위 명제가 성립하므로 결국 모든 \mathbf{b}근방 N에 대하여 함수 f\mathbf{x}\mathbf{x}_0로 접근할 때 결국 N에 속하게 되며 이는 다변수 함수의 극한의 정의이다.
그러므로 다변수 함수의 극한으 정의는 엡실론-델타 논법을 이용한 정의의 충분조건이다.

일변수 함수의 극한과 관련된 정리들[편집]

좌극한과 우극한, 극한사이의 관계[편집]

\lim_{x\to a}f(x)=L\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)필요충분조건이다.

\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)

증명[편집]

간단하게 절댓값을 풀고 묶는 과정이다.

충분조건
모든 양의 실수 \epsilon에 대해 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon을 만족하는 어떤 양의 실수 \delta가 존재한다. 이 때 x>a,~x<a의 두가지 경우가 존재한다.
첫 번째 경우 0<x-a<\delta\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon이고 두 번째 경우 0<a-x<\delta\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon이다. 따라서 좌극한과 우극한의 정의에 의하여 \lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)이다.
그러므로 \lim_{x\to a}f(x)=L\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)충분조건이다.
필요조건
모든 양의 실수 \epsilon에 대해 0<x-a<\delta _1\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon0<a-x<\delta _2\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon를 만족하는 어떤 양의 실수 \delta _1,\delta _2가 존재한다.
\delta\min(\delta _1,\delta _2)로 잡아주면, 0<\delta\le\delta _1,~0<\delta\le\delta _2이다. 이때 x>a라면 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow 0<x-a<\delta\le\delta _1\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon이다.
마찬가지로 x<a라면 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow 0<a-x<\delta\le\delta_1\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon이다. 따라서 극한의 정의에 의하여 \lim_{x\to a}f(x)=L이다.
그러므로 \lim_{x\to a}f(x)=L\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)필요조건이다.

극한의 성질[편집]

함수의 극한은 다음과 같은 성질을 지닌다.

\lim_{x \to a}f(x)  =  \alpha ,\, \lim_{x \to a}g(x) = \beta 일 때 :

  1. \lim_{x \to a}\left\{ f(x) + g(x) \right\} = \alpha + \beta
  2. \lim_{x \to a}f(x)g(x)= \alpha\beta
  3. \lim_{x \to a}k=k(단, k는 상수)
  4. \lim_{x \to a}kf(x) = k\alpha (k상수)
  5. \lim_{x \to a}\left\{ f(x) - g(x) \right\} = \alpha - \beta
  6. \lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\beta}{\alpha} (단, f(x) \ne 0, \alpha \ne 0)

1번과 4번 성질로 인하여 \lim연산자는 선형변환이다. 또한 \lim연산자는 복소켤레와 함께 사칙연산과 완벽하게 교환되는 수학의 몇 안되는 연산자들 중 하나이다.

증명[편집]

함수의 극한의 엄밀한 정의인 엡실론-델타 논법을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

  1. 삼각 부등식에 의하여 |f(x)+g(x)-(\alpha +\beta )|=|(f(x)-\alpha )+(g(x)-\beta )|\le |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |가 성립한다.

모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 \frac{\epsilon}{2}>0이므로 |x-a|<\delta _1\Rightarrow|f(x)-\alpha |<\frac{\epsilon}{2}이고 |x-a|<\delta _2\Rightarrow|g(x)-\beta |<\frac{\epsilon}{2}인 양의 실수 \delta _1\delta _2가 존재한다.

\delta\min(\delta _1,\delta _2)로 잡아주면 0<\delta\le\delta _1이며 동시에 0<\delta\le\delta _2이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조함하면 다음과 같다.

 |\left\{ f(x)+g(x)\right\}-(\alpha +\beta )|\le |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon

다시 말해 모든 양의 실수 \epsilon에 대해 어떤 양의 실수 \delta가 존재하여 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |{f(x)+g(x)}-(\alpha +\beta )|<\epsilon이다.

그러므로 극한에 정의에 의하여 \lim_{x\to a}\left\{ f(x)+g(x)\right\} =\alpha +\beta이다.

  1. 증명하고자 하는 명제의 결론은 다음과 같다. 모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 어떤 양의 실수 \delta가 존재하여 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left|f(x)g(x)-\alpha\beta\right| <\epsilon이다.

여기서 \alpha g(x)를 더하고 빼주면 \left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right| =\left| f(x)g(x)-\alpha g(x)+\alpha g(x)-\alpha\beta\right| =\left|\left\{ f(x)-\alpha\right\} g(x)+\alpha\left\{ g(x)-\beta\right\}\right|이다.

삼각 부등식을 사용한다면 \left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right|\le\left|\left\{ f(x)-\alpha\right\} g(x)\right| +\left|\alpha\left\{ g(x)-\beta\right\}\right| =\left| f(x)-\alpha\right|\left| g(x)\right| + \left| \alpha\right|\left| g(x)-\beta\right|이다.

모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 \frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\alpha\right|\right) }>0,~1>0,~\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\alpha\right| \right) }>0이므로 0<\left| x-a\right| <\delta _1\Rightarrow\left| g(x)-\beta\right| <\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\beta\right|\right) },~0<\left| x-a\right| <\delta _2\Rightarrow\left| g(x)-\beta\right| <1,0<\left| x-a\right| <\delta _3\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\alpha\right| \right) }를 만족하는 양의 실수 \delta _1,~\delta _2,~\delta _3가 존재한다.

삼각 부등식에 의해 \left| g(x)\right| =\left| g(x)-\beta +\beta\right|\le\left| g(x)-\beta\right| +\left|\beta\right| <1+\left|\beta\right|이다.

\delta\min(\delta _1,\delta _2,\delta _3)로 잡아주면, 0<\delta\le\delta _1,~0<\delta\le\delta _2,~0<\delta\le\delta _3이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.

 \left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right|\le\left| f(x)-\alpha\right|\left|\alpha\right| +\left|\alpha\right|\left| g(x)-\beta\right| <\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\beta\right|\right)}\left( 1+\left|\beta\right|\right) +\left|\alpha\right|\frac{\epsilon}{2\left(1+\left|\alpha\right|\right)}<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon

다시 말해 모든 양의 실수 \epsilon에 대해 어떤 양의 실수 \delta가 존재하여 0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right| <\epsilon이다.

그러므로 극한에 정의에 의하여 \lim_{x\to a}f(x)g(x) =\alpha\beta이다.

  1. 모든 양의 실수 \epsilon에 대해 어떤 양의 실수 \delta가(아무 양의 실수는 상관이 없다. 여기서는 1로 한다.) 존재하여 \left| x-a\right| <1\Rightarrow\left| k-k\right| =0<\epsilon이다.

그러므로 극한에 정의에 의하여 \lim_{x \to a}k=k이다.

  1. g(x)=k로 정의하고 2번과 3번 성질을 적용시키자.

 \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}k=k

 \lim_{x\to a}kf(x)=\lim_{x\to a}g(x)f(x)=k\alpha이다.

  1. c=-1로 잡고 1번과 4번 성질을 적용시키자.

 \lim_{x\to a}(-1)g(x)=(-1)\cdot\beta =-\beta

 \lim_{x\to a}\left\{ f(x)-g(x)\right\} =\lim_{x\to a}\left\{ f(x)+(-1)g(x)\right\} =\alpha +(-\beta )=\alpha -\beta

그러므로 \lim_{x \to a}\left\{ f(x) - g(x) \right\} = \alpha - \beta이다.

  1. 증명하기에 앞서 다음과 같은 보조정리를 증명하자. \lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\alpha}

 모든 양의 실수 \epsilon에 대하여\frac{\left|\alpha\right|}{2}>0,~\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon >0이므로 \left| x-a\right| <\delta _1\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\left|\alpha\right|}{2},~\left| x-a\right| <\delta _2\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon을 만족하는 양의 실수 \delta _1,\delta _2가 존재한다.

 \left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\left|\alpha\right| }{2}이라면 삼각 부등식에 의하여 \left|\alpha\right| =\left|\alpha -f(x)+f(x)\right|\le\left|\alpha -f(x)\right| +\left| f(x)\right| =\left| f(x)-\alpha\right| +\left| f(x)\right| <\frac{\left|\alpha\right|}{2}+\left| f(x)\right|이므로 \left| f(x)\right| >\frac{\left|\alpha\right|}{2}이다.

 따라서 \frac{1}{\left|\alpha f(x)\right|}=\frac{1}{\left|\alpha\right|\left| f(x)\right|}<\frac{1}{\left|\alpha\right|}\cdot\frac{2}{\left|\alpha\right|}=\frac{2}{\alpha ^2}이다.

 \delta\min(\delta _1,\delta _2)로 잡아주면, 0<\delta\le\delta _1,~0<\delta\le\delta _2이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.

 \left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{\alpha}\right| =\frac{\left|\alpha -f(x)\right|}{\left|\alpha f(x)\right|}<\frac{2}{\alpha ^2}\cdot\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon =\epsilon

 다시 말해 모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 어떤 양의 실수 \delta가 존재하여 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{\alpha}\right| <\epsilon이다.

 그러므로 극한의 정의에 의하여 \lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\alpha}이다.

위에서 증명한 보조정리와 4번 성질을 적용시키자.

 \lim_{x\to a}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\to a}g(x)\left(\frac{1}{f(x)}\right)=\beta\cdot\frac{1}{\alpha}=\frac{\beta}{\alpha}

그러므로 \lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\beta}{\alpha}이다.

함수와 극한의 대소[편집]

a를 포함하는 어떤 개구간 I에서 정의된 함수 f:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}g:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}가 모든 x\in I에 대해 f(x)\le g(x)일때

\lim_{x\to a}f(x)=L,~\lim_{x\to a}g(x)=M이라고 하면 L\le M이다.

증명[편집]

귀류법을 이용한다. 결론을 부정하여 L>M이라 가정하자. 극한의 5번째 성질에 의하여 \lim_{x\to a}\left\{ g(x)-f(x)\right\} =M-L이다. 가정에 의하여 L-M>0이므로 극한의 정의에 의하여 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left|\left\{ g(x)-f(x)\right\} -\left( M-L\right)\right| <L-M를 만족하는 어떤 양의 실수 \delta가 존재한다. 어떤 수의 절댓값은 그 수보다 크거나 같으므로 \left\{ g(x)-f(x)\right\} -\left( M-L\right) <L-M이다. 정리하면 f(x)>g(x)이므로 이는 전제에 대해 모순이다.

그러므로 L\le M이다.

샌드위치 정리[편집]

a를 포함하는 어떤 개구간 I에서 정의된 함수 f:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R},~g:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R},~h:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}a를 제외한 모든 x\in I에 대해 f(x)\le g(x)\le h(x)일 때,

\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x)이라면 \lim_{x\to a}g(x)=L이다.

연속과 극한[편집]

x=a를 포함하는 개구간 I_a에서 정의된 함수 f:I_a\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}에 대해 \lim_{x\to a}f(x)=b일 때 x=b를 포함하는 개구간 I_b에서 정의된 함수 g:I_b\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}x=b에서 연속이고 f의 치역 f(I_a)\sub I_b라면 \lim_{x\to a}\left( g\circ f\right)\left( x\right) =g(\lim_{x\to a}f(x))=g(b)이다.

증명[편집]

임의의 양의 실수 \epsilon을 잡자. 함수 gx=b에서 연속이므로 정의에 의하여 \lim_{y\to b}g(y)=g(b)이다. 극한의 정의를 이용하면 0<\left| y-b\right| <\delta_1\Rightarrow\left| g(y)-g(b)\right| <\epsilon를 만족하는 어떤 양의 실수 \delta_1이 존재한다. 또한 \lim_{x\to a}f(x)=b이므로 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| f(x)-b\right| <\delta_1을 만족하는 어떤 양의 실수 \delta가 존재한다. 정리하면 모든 양의 실수 \epsilon에 대해 어떤 양의 실수 \delta가 존재하여 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| f(x)-b\right| <\delta_1\Rightarrow0<\left| f(x)-b\right| <\delta_1\Rightarrow\left| g(f(x))-g(b)\right| <\epsilon이다.

그러므로 합성함수와 극한의 정의에 의하여 \lim_{x\to a}\left( g\circ f\right)\left( x\right) = g(b)이다.

로피탈의 정리[편집]

x=a를 포함하는 어떤 개구간 I에서 정의된 미분가능한 함수 f:I\in\mathbb{R}\to\mathbb{R}g:I\in\mathbb{R}\to\mathbb{R}가 있고 a를 제외한 I의 모든 원소에 대해 g'(x)\ne 0이다.

만약 \lim_{x\to a}f(x)=0,~\lim_{x\to a}g(x)=0이거나 \lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty,~\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty라면

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}이다.(단, 우변의 극한이 존재하거나 \pm\infty여야 한다.)

다변수 함수의 극한과 관련된 정리[편집]

극한의 유일성[편집]

f:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m이며 A열린 집합일 때 \mathbf{x}_0A의 원소 또는 경계에서 택하자. 만약 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}_1이고 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}_2라면 \mathbf{b}_1=\mathbf{b}_2이다.

증명[편집]

엡실론-델타 논법을 이용하면 편하다. 귀류법을 이용해 증명하자. 결론을 부정하여 \mathbf{b}_1\ne\mathbf{b}_2라고 가정하자.

\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}>0이므로 \mathbf{x}\in A일 때 0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta_1\Rightarrow\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_1\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2},~0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta_2\Rightarrow\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}을 만족하는 양의 실수 \delta_1\delta_2가 존재한다.

\delta\min(\delta_1,\delta_2)로 잡으면 0<\delta\le\delta_1,~0<\delta\le\delta_2이다. 따라서 0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta\Rightarrow\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_1\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2},\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}이다.

삼각부등식에 의하여 \|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| =\|\left(\mathbf{b}_1-f(\mathbf{x})\right) +\left( f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\right)\|\le\|\left(\mathbf{b}_1-f(\mathbf{x})\right) +\left( f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\right)\| =\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_1\| +\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}+\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}=\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\|이므로

이는 전체에 대한 모순이다.

그러므로 \mathbf{b}_1=\mathbf{b}_2이다.

극한의 성질[편집]

f:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m이며 A열린 집합일 때 \mathbf{x}_0A의 원소 또는 경계에서 택하자. 또 앞으로 나올 \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{d}\in\mathbb{R}^m이고 c\in\mathbb{R}이다.

  1. \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}_1이면 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}cf(\mathbf{x})=c\mathbf{b}_1이다. (함수 cf:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\mathbf{x}\mapsto c\left( f(\mathbf{x})\right)로 정의된다.)
  2. \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}_1이고 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}g(\mathbf{x})=\mathbf{b}_2이면 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}\left( f+g\right)(\mathbf{x})=\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2이다. (함수\left( f+g\right) :A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\mathbf{x}\mapsto f(\mathbf{x})+g(\mathbf{x})로 정의된다.)
  3. m=1이고 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=b_1이고 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}g(\mathbf{x})=b_2이면 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}\left( fg\right)(\mathbf{x})=b_1b_2이다. (함수\left( fg\right) :A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\mathbf{x}\mapsto f(\mathbf{x})g(\mathbf{x})로 정의된다.)
  4. m=1이고 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=b_1\ne 0이며 모든 \mathbf{x}\in A에 대하여 f(\mathbf{x})\ne 0\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}\frac{1}{f}(\mathbf{x})=\frac{1}{b_1}이다. (함수\frac{1}{f}:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\mathbf{x}\mapsto \frac{1}{f(\mathbf{x})}로 정의된다.)
  5. f(\mathbf{x})=\left( f_1(\mathbf{x}),...,f_m(\mathbf{x})\right)라면 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{d}=\left( d_1,...d_m\right)i1부터 m까지 각각 \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f_i(\mathbf{x})=\mathbf{d}_i을 만족한다와 필요충분조건이다.
    (함수 f_i:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}은 함수 f의 성분함수들이다.)

초월함수의 극한[편집]

삼각함수의 극한[편집]

원의 방정식이 원의 중심이 O(0,0)인 x^{2}+y^{2}=r^{2}이고 원 위의 두점 P, Q에 대해 각POQ의 크기가 \theta일 때,

 \frac{1}{2}r^{2}\sin {\theta}\frac{1}{2}r^{2}{\theta}\frac{1}{2}r^{2}\tan{\theta}
\sin{\theta}{\theta}\tan{\theta}
1≤\frac{\theta}{\sin{\theta}}\frac{1}{\cos{\theta}}
\cos{\theta}\frac{\sin{\theta}}{\theta}≤1
샌드위치 정리에 의해
\lim_{\theta \to 0+}\cos{\theta}=\lim_{\theta \to 0+}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1
{\theta}=t일 때, {\theta \to 0-}이면 {t \to 0+}
\lim_{\theta \to 0-}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=\lim_{t \to 0-}\frac{\sin (-t)}{-t}=\lim_{t \to 0-}\frac{\sin{t}}{t}=1
따라서, \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1
\lim_{\theta \to 0}\frac{\tan{\theta}}{\theta}=\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta\cos{\theta}}=\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}\lim_{\theta\to0}\frac{1}{\cos{\theta}}=1

지수함수의 극한[편집]

무리수 e의 정의는 e=\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}이다.

\lim_{x \to 0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=\ln\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=1
a^{x}-1=t(a>0), x=\log_{a}(t+1)
\lim_{x\to0}\frac{a^{x}-1}{x}=\lim_{t\to0}\frac{t}{\log_{a}(t+1)}=\ln a
a가 무리수 e일 때,
\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=\ln e=1

로그함수의 극한[편집]

무리수 e의 정의는 e=\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}이다.

\lim_{x\to0}\frac{\ln (1+x)}{x}=\lim_{x \to 0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=1
\lim_{x\to0}\frac{\log_{a} (1+x)}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\ln a}=\frac{1}{\ln a}

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]