함수의 극한

$x$에 대한 함수 $f(x)$에서, $x$가 어떤 값 $a$에 한없이 가까워지면 $f(x)$도 어떤 값 $c$에 한없이 가까워질 때 $f(x)$가 $c$에 수렴한다고 한다. 이것을 기호로 표현하면,

$x\,\to\,a$가 된다. 예를 들어, $f(x)$가 $x \ge 0$일 때 1, $x < 0$일 때 0을 가지는 함수라면 $\lim_{x \to 0-0}f(x) = 0$, $\lim_{x \to 0+0}f(x) = 1$이 된다.

0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.

수학적 정의

일변수 함수의 극한의 정의

일변수 함수의 극한은 일반적으로 엡실론-델타(ε-δ)에 관한 방법으로 정의한다.

모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해, 어떠한 실수 $\delta$가 존재하여 $0 < | x - p | < \delta$일 때 항상 $| f(x) - c | < \epsilon$가 성립하면, 이때의 극한값은

$\lim_{x \to p}f(x) = c$

로 정의한다.

좌극한과 우극한도 비슷한 방법으로 정의하는데, 이때는 $\delta$에 대한 조건이 $0 < | x - p | < \delta$대신, 좌극한의 경우 $0 < p - x < \delta$, 우극한의 경우 $0 < x - p < \delta$가 된다.

무한과 관계되는 극한들

$\lim_{x \to \infty}f(x) = L \, : \ x$가 양의 무한대로 커질 때 $f(x)\,$는 $L\,$에 가까워진다.

$x$가 어떠한 값으로 접근하는 것이 아니라 무한히 커지거나 작아지는 경우에 대해서도 극한값을 정의할 수 있다. 이때의 조건은 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해, 어떠한 실수 $S$가 존재하여 $x > S$(양의 무한대) 또는 $x < S$(음의 무한대)일 때 항상 $| f(x) - c | < \epsilon$가 성립하는 경우이다. 이때 수식으로는 다음과 같이 표시한다.

• 양의 무한대: $\lim_{x \to \infty}f(x) = c$
• 음의 무한대: $\lim_{x \to -\infty}f(x) = c$

발산

극한이 존재하지 않는 경우를 발산한다고 한다. 이때 함수값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다. 예를 들어, $f(x) = \frac{1}{x^2}$의 경우 $x$가 $0$에 가까워질 때 $f(x)$는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다. 이를 엄밀하게 정의하면 다음과 같다. 모든 양의 실수 $M$에 대해, 어떠한 실수 $\delta$가 존재하여 $0<|x-p|<\delta$일 때 항상 $f(x)>M$가 성립하면, 이때의 극한 값은

$\lim_{x\to p}f(x)=+\infty$

로 정의한다. 음의 무한대로 발산할 경우 마찬가지로 모든 음의 실수 $N$에 대해, 어떠한 실수 $\delta$가 존재하여 $0<|x-p|<\delta$일 때 항상 $f(x)<N$가 성립하면, 이때의 극한 값은

$\lim_{x\to p}f(x)=-\infty$

로 정의한다.

다변수 함수의 극한의 정의

$f:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$이며 $A$가 열린 집합일 때 $\mathbf{x}_0$를 $A$의 원소 또는 경계에서 택하고 어떤 $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$의 근방 $N$을 정의하자. 만약 $\mathbf{x}\ne\mathbf{x}_0,~\mathbf{x}\in U,~\mathbf{x}\in A\Rightarrow f(\mathbf{x})\in N$인 어떤 $\mathbf{x}_0$의 근방 $U$가 존재하면 그 함수 $f$는 $\mathbf{x}$가 $\mathbf{x}_0$로 접근할 때 결국 $N$에 속하게 된다 라고 표현한다. 더욱이 모든 $\mathbf{b}$의 근방 $N$에 대하여 함수 $f$가 $\mathbf{x}$가 $\mathbf{x}_0$로 접근할 때 결국 $N$에 속하게 되면 $\mathbf{x}$가 $\mathbf{x}_0$로 접근할 때 $f(\mathbf{x})$는 $\mathbf{b}$로 접근한다 라고 표현하며 이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

$\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}$ 또는 $f(\mathbf{x})\to\mathbf{b}~\mbox{as}~\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0$

만약 $\mathbf{x}$가 $\mathbf{x}_0$로 접근할 때 $f(\mathbf{x})$가 어떤 점으로 접근하지 않는 경우에는 $\lim{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})$가 존재하지 않는다 고 표현한다.

엡실론-델타 논법을 이용한 정의

일변수 함수의 극한을 정의했던 비슷한 방식으로 다변수 함수의 극한을 엡실론-델타 논법을 이용하여 정의할 수 있다.

$f:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$로 정의하고 $\mathbf{x}_0$를 $A$의 원소 또는 경계에서 택하자. 그렇다면 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta$를 만족하는 모든$x\in A$가 $\| f(\mathbf{x}-\mathbf{b}\| <\epsilon$를 만족한다 는$\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}$의 필요충분조건이다.

증명

참고: $D_r(\mathbf{x})$는 중심이 $\mathbf{x}$이고 반지름이 $r$인 열린 공이다.

필요조건

양의 실수 $\epsilon$을 임의로 잡고, 잡은 $\epsilon$에 대해 $\mathbf{b}$의 근방중 중심이 $\mathbf{b}$이며 반지름이 $\epsilon$인 열린 공 $N=D_\epsilon (\mathbf{b})$를 생각하자.
다변수 함수의 극한의 정의에 의하여 $f$는 $\mathbf{x}$가 $\mathbf{x}_0$로 접근할 때 결국 $D_\epsilon (\mathbf{b})$에 속하게 된다. 즉, $\mathbf{x}\ne\mathbf{x}_0,~\mathbf{x}\in U,~\mathbf{x}\in A\Rightarrow f(\mathbf{x})\in D_\epsilon (\mathbf{b})$인 어떤 $\mathbf{x}_0$의 근방 $U$가 존재한다.
$U$는 근방의 정의에 의하여 $\mathbf{x}_0$를 포함하는 열린 집합이므로 열린 집합의 정의에 의하여 $D_\delta (\mathbf{x}_0)\sub U$를 만족하는 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재한다.
따라서 $\mathbf{x}\ne\mathbf{x}_0,~\mathbf{x}\in D_\delta (\mathbf{x}_0)\sub U,~\mathbf{x}\in A\Rightarrow f(\mathbf{x})\in D_\epsilon (\mathbf{b})$이고 열린 공의 정의에 의하여 $0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta$를 만족하는 모든$x\in A$가 $\| f(\mathbf{x}-\mathbf{b}\| <\epsilon$를 만족한다.
정리하면 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta$를 만족하는 모든$x\in A$가 $\| f(\mathbf{x}-\mathbf{b}\| <\epsilon$를 만족하고 이는 엡실론-델타 논법을 이용한 정의이다.
그러므로 다변수 함수의 극한의 정의는 엡실론-델타 논법을 이용한 정의의 필요조건이다.

충분조건

어떤 $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$의 근방 $N$을 정의하자. $N$는 근방의 정의에 의하여 $\mathbf{b}$를 포함하는 열린 집합이므로 열린 집합의 정의에 의하여 $D_\epsilon (\mathbf{b})\sub N$를 만족하는 어떤 양의 실수 $\epsilon$이 존재한다.
엡실론-델타 논법을 이용한 정의에 의하여 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta$를 만족하는 모든$x\in A$가 $\| f(\mathbf{x}-\mathbf{b}\| <\epsilon$를 만족한다.
이때 $U$를 $D_\delta (\mathbf{x}_0)$로 잡아주면 열린 공의 정의에 의하여 $\mathbf{x}\ne\mathbf{x}_0,~\mathbf{x}\in U,~\mathbf{x}\in A\Rightarrow f(\mathbf{x})\in D_\epsilon (\mathbf{b})\sub N$이다. 즉, 함수 $f$는 $\mathbf{x}$가 $\mathbf{x}_0$로 접근할 때 결국 $N$에 속하게 된다.
$\mathbf{b}$의 모든 근방 $N$에 대하여 위 명제가 성립하므로 결국 모든 $\mathbf{b}$의 근방 $N$에 대하여 함수 $f$가 $\mathbf{x}$가 $\mathbf{x}_0$로 접근할 때 결국 $N$에 속하게 되며 이는 다변수 함수의 극한의 정의이다.
그러므로 다변수 함수의 극한으 정의는 엡실론-델타 논법을 이용한 정의의 충분조건이다.

일변수 함수의 극한과 관련된 정리들

좌극한과 우극한, 극한사이의 관계

$\lim_{x\to a}f(x)=L$은 $\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)$의 필요충분조건이다.

$\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)$

증명

간단하게 절댓값을 풀고 묶는 과정이다.

충분조건

모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon$을 만족하는 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재한다. 이 때 $x>a,~x<a$의 두가지 경우가 존재한다.
첫번째 경우 $0<x-a<\delta\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon$이고 두번째 경우 $0<a-x<\delta\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon$이다. 따라서 좌극한과 우극한의 정의에 의하여 $\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)$이다.
그러므로 $\lim_{x\to a}f(x)=L$은 $\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)$의 충분조건이다.

필요조건

모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해 $0<x-a<\delta _1\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon$와 $0<a-x<\delta _2\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon$를 만족하는 어떤 양의 실수 $\delta _1,\delta _2$가 존재한다.
$\delta$를 $\min(\delta _1,\delta _2)$로 잡아주면, $0<\delta\le\delta _1,~0<\delta\le\delta _2$이다. 이때 $x>a$라면 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow 0<x-a<\delta\le\delta _1\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon$이다.
마찬가지로 $x<a$라면 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow 0<a-x<\delta\le\delta_1\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon$이다. 따라서 극한의 정의에 의하여 $\lim_{x\to a}f(x)=L$이다.
그러므로 $\lim_{x\to a}f(x)=L$은 $\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)$의 필요조건이다.

극한의 성질

함수의 극한은 다음과 같은 성질을 지닌다.

$\lim_{x \to a}f(x) = \alpha ,\, \lim_{x \to a}g(x) = \beta$ 일 때 :

1. $\lim_{x \to a}\left\{ f(x) + g(x) \right\} = \alpha + \beta$
2. $\lim_{x \to a}f(x)g(x)= \alpha\beta$
3. $\lim_{x \to a}k=k$(단, k는 상수)
4. $\lim_{x \to a}kf(x) = k\alpha$ ($k$는 상수)
5. $\lim_{x \to a}\left\{ f(x) - g(x) \right\} = \alpha - \beta$
6. $\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\beta}{\alpha}$ (단, $f(x) \ne 0, \alpha \ne 0$)

1번과 4번 성질로 인하여 $\lim$연산자는 선형변환이다. 또한 $\lim$연산자는 복소켤레와 함께 사칙연산과 완벽하게 교환되는 수학의 몇 안되는 연산자들 중 하나이다.

증명

함수의 극한의 엄밀한 정의인 엡실론-델타 논법을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

1. 삼각 부등식에 의하여 $|f(x)+g(x)-(\alpha +\beta )|=|(f(x)-\alpha )+(g(x)-\beta )|\le |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |$가 성립한다.
   
   모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여 $\frac{\epsilon}{2}>0$이므로 $|x-a|<\delta _1\Rightarrow|f(x)-\alpha |<\frac{\epsilon}{2}$이고 $|x-a|<\delta _2\Rightarrow|g(x)-\beta |<\frac{\epsilon}{2}$인 양의 실수 $\delta _1$과 $\delta _2$가 존재한다.
   
   $\delta$를 $\min(\delta _1,\delta _2)$로 잡아주면 $0<\delta\le\delta _1$이며 동시에 $0<\delta\le\delta _2$이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조함하면 다음과 같다.
   
    $|\left\{ f(x)+g(x)\right\}-(\alpha +\beta )|\le |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$
   
   다시 말해 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<|x-a|<\delta\Rightarrow |{f(x)+g(x)}-(\alpha +\beta )|<\epsilon$이다.
   
   그러므로 극한에 정의에 의하여 $\lim_{x\to a}\left\{ f(x)+g(x)\right\} =\alpha +\beta$이다.
   
   
2. 증명하고자 하는 명제의 결론은 다음과 같다. 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left|f(x)g(x)-\alpha\beta\right| <\epsilon$이다.
   
   여기서 $\alpha g(x)$를 더하고 빼주면 $\left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right| =\left| f(x)g(x)-\alpha g(x)+\alpha g(x)-\alpha\beta\right| =\left|\left\{ f(x)-\alpha\right\} g(x)+\alpha\left\{ g(x)-\beta\right\}\right|$이다.
   
   삼각 부등식을 사용한다면 $\left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right|\le\left|\left\{ f(x)-\alpha\right\} g(x)\right| +\left|\alpha\left\{ g(x)-\beta\right\}\right| =\left| f(x)-\alpha\right|\left| g(x)\right| + \left| \alpha\right|\left| g(x)-\beta\right|$이다.
   
   모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여 $\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\alpha\right|\right) }>0,~1>0,~\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\alpha\right| \right) }>0$이므로 $0<\left| x-a\right| <\delta _1\Rightarrow\left| g(x)-\beta\right| <\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\beta\right|\right) },~0<\left| x-a\right| <\delta _2\Rightarrow\left| g(x)-\beta\right| <1,$$0<\left| x-a\right| <\delta _3\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\alpha\right| \right) }$를 만족하는 양의 실수 $\delta _1,~\delta _2,~\delta _3$가 존재한다.
   
   삼각 부등식에 의해 $\left| g(x)\right| =\left| g(x)-\beta +\beta\right|\le\left| g(x)-\beta\right| +\left|\beta\right| <1+\left|\beta\right|$이다.
   
   $\delta$를 $\min(\delta _1,\delta _2,\delta _3)$로 잡아주면, $0<\delta\le\delta _1,~0<\delta\le\delta _2,~0<\delta\le\delta _3$이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
   
    $\left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right|\le\left| f(x)-\alpha\right|\left|\alpha\right| +\left|\alpha\right|\left| g(x)-\beta\right| <\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\beta\right|\right)}\left( 1+\left|\beta\right|\right) +\left|\alpha\right|\frac{\epsilon}{2\left(1+\left|\alpha\right|\right)}<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$
   
   다시 말해 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right| <\epsilon$이다.
   
   그러므로 극한에 정의에 의하여 $\lim_{x\to a}f(x)g(x) =\alpha\beta$이다.
   
   
3. 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해 어떤 양의 실수 $\delta$가(아무 양의 실수는 상관이 없다. 여기서는 1로 한다.) 존재하여 $\left| x-a\right| <1\Rightarrow\left| k-k\right| =0<\epsilon$이다.
   
   그러므로 극한에 정의에 의하여 $\lim_{x \to a}k=k$이다.
   
   
4. $g(x)=k$로 정의하고 2번과 3번 성질을 적용시키자.
   
    $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}k=k$
   
    $\lim_{x\to a}kf(x)=\lim_{x\to a}g(x)f(x)=k\alpha$이다.
   
   
5. $c=-1$로 잡고 1번과 4번 성질을 적용시키자.
   
    $\lim_{x\to a}(-1)g(x)=(-1)\cdot\beta =-\beta$
   
    $\lim_{x\to a}\left\{ f(x)-g(x)\right\} =\lim_{x\to a}\left\{ f(x)+(-1)g(x)\right\} =\alpha +(-\beta )=\alpha -\beta$
   
   그러므로 $\lim_{x \to a}\left\{ f(x) - g(x) \right\} = \alpha - \beta$이다.
   
   
6. 증명하기에 앞서 다음과 같은 보조정리를 증명하자. $\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\alpha}$
   
    모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여$\frac{\left|\alpha\right|}{2}>0,~\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon >0$이므로 $\left| x-a\right| <\delta _1\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\left|\alpha\right|}{2},~\left| x-a\right| <\delta _2\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon$을 만족하는 양의 실수 $\delta _1,\delta _2$가 존재한다.
   
    $\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\left|\alpha\right| }{2}$이라면 삼각 부등식에 의하여 $\left|\alpha\right| =\left|\alpha -f(x)+f(x)\right|\le\left|\alpha -f(x)\right| +\left| f(x)\right| =\left| f(x)-\alpha\right| +\left| f(x)\right| <\frac{\left|\alpha\right|}{2}+\left| f(x)\right|$이므로 $\left| f(x)\right| >\frac{\left|\alpha\right|}{2}$이다.
   
    따라서 $\frac{1}{\left|\alpha f(x)\right|}=\frac{1}{\left|\alpha\right|\left| f(x)\right|}<\frac{1}{\left|\alpha\right|}\cdot\frac{2}{\left|\alpha\right|}=\frac{2}{\alpha ^2}$이다.
   
    $\delta$를 $\min(\delta _1,\delta _2)$로 잡아주면, $0<\delta\le\delta _1,~0<\delta\le\delta _2$이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
   
    $\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{\alpha}\right| =\frac{\left|\alpha -f(x)\right|}{\left|\alpha f(x)\right|}<\frac{2}{\alpha ^2}\cdot\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon =\epsilon$
   
    다시 말해 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{\alpha}\right| <\epsilon$이다.
   
    그러므로 극한의 정의에 의하여 $\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\alpha}$이다.
   
   위에서 증명한 보조정리와 4번 성질을 적용시키자.
   
    $\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\to a}g(x)\left(\frac{1}{f(x)}\right)=\beta\cdot\frac{1}{\alpha}=\frac{\beta}{\alpha}$
   
   그러므로 $\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\beta}{\alpha}$이다.

함수와 극한의 대소

$a$를 포함하는 어떤 개구간 $I$에서 정의된 함수 $f:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}$와 $g:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}$가 모든 $x\in I$에 대해 $f(x)\le g(x)$일때

$\lim_{x\to a}f(x)=L,~\lim_{x\to a}g(x)=M$이라고 하면 $L\le M$이다.

증명

귀류법을 이용한다. 결론을 부정하여 $L>M$이라 가정하자. 극한의 5번째 성질에 의하여 $\lim_{x\to a}\left\{ g(x)-f(x)\right\} =M-L$이다. 가정에 의하여 $L-M>0$이므로 극한의 정의에 의하여 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left|\left\{ g(x)-f(x)\right\} -\left( M-L\right)\right| <L-M$를 만족하는 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재한다. 어떤 수의 절댓값은 그 수보다 크거나 같으므로 $\left\{ g(x)-f(x)\right\} -\left( M-L\right) <L-M$이다. 정리하면 $f(x)>g(x)$이므로 이는 전제에 대해 모순이다.

그러므로 $L\le M$이다.

샌드위치 정리

이 부분의 본문은 샌드위치 정리입니다.

$a$를 포함하는 어떤 개구간 $I$에서 정의된 함수 $f:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R},~g:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R},~h:I\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}$가 $a$를 제외한 모든 $x\in I$에 대해 $f(x)\le g(x)\le h(x)$일 때,

$\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x)$이라면 $\lim_{x\to a}g(x)=L$이다.

연속과 극한

연속함수 문서를 참고하십시오.

$x=a$를 포함하는 개구간 $I_a$에서 정의된 함수 $f:I_a\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}$에 대해 $\lim_{x\to a}f(x)=b$일 때 $x=b$를 포함하는 개구간 $I_b$에서 정의된 함수 $g:I_b\sub\mathbb{R}\to\mathbb{R}$가 $x=b$에서 연속이고 $f$의 치역 $f(I_a)\sub I_b$라면 $\lim_{x\to a}\left( g\circ f\right)\left( x\right) =g(\lim_{x\to a}f(x))=g(b)$이다.

증명

임의의 양의 실수 $\epsilon$을 잡자. 함수 $g$가 $x=b$에서 연속이므로 정의에 의하여 $\lim_{y\to b}g(y)=g(b)$이다. 극한의 정의를 이용하면 $0<\left| y-b\right| <\delta_1\Rightarrow\left| g(y)-g(b)\right| <\epsilon$를 만족하는 어떤 양의 실수 $\delta_1$이 존재한다. 또한 $\lim_{x\to a}f(x)=b$이므로 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| f(x)-b\right| <\delta_1$을 만족하는 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재한다. 정리하면 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대해 어떤 양의 실수 $\delta$가 존재하여 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| f(x)-b\right| <\delta_1\Rightarrow0<\left| f(x)-b\right| <\delta_1\Rightarrow\left| g(f(x))-g(b)\right| <\epsilon$이다.

그러므로 합성함수와 극한의 정의에 의하여 $\lim_{x\to a}\left( g\circ f\right)\left( x\right) = g(b)$이다.

로피탈의 정리

이 부분의 본문은 로피탈의 정리입니다.

$x=a$를 포함하는 어떤 개구간 $I$에서 정의된 미분가능한 함수 $f:I\in\mathbb{R}\to\mathbb{R}$과 $g:I\in\mathbb{R}\to\mathbb{R}$가 있고 $a$를 제외한 $I$의 모든 원소에 대해 $g'(x)\ne 0$이다.

만약 $\lim_{x\to a}f(x)=0,~\lim_{x\to a}g(x)=0$이거나 $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty,~\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$라면

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$이다.(단, 우변의 극한이 존재하거나 $\pm\infty$여야 한다.)

다변수 함수의 극한과 관련된 정리

극한의 유일성

$f:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$이며 $A$가 열린 집합일 때 $\mathbf{x}_0$를 $A$의 원소 또는 경계에서 택하자. 만약 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}_1$이고 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}_2$라면 $\mathbf{b}_1=\mathbf{b}_2$이다.

증명

엡실론-델타 논법을 이용하면 편하다. 귀류법을 이용해 증명하자. 결론을 부정하여 $\mathbf{b}_1\ne\mathbf{b}_2$라고 가정하자.

$\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}>0$이므로 $\mathbf{x}\in A$일 때 $0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta_1\Rightarrow\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_1\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2},~0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta_2\Rightarrow\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}$을 만족하는 양의 실수 $\delta_1$과 $\delta_2$가 존재한다.

$\delta$를 $\min(\delta_1,\delta_2)$로 잡으면 $0<\delta\le\delta_1,~0<\delta\le\delta_2$이다. 따라서 $0<\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <\delta\Rightarrow\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_1\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2},\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}$이다.

삼각부등식에 의하여 $\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| =\|\left(\mathbf{b}_1-f(\mathbf{x})\right) +\left( f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\right)\|\le\|\left(\mathbf{b}_1-f(\mathbf{x})\right) +\left( f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\right)\| =\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_1\| +\| f(\mathbf{x})-\mathbf{b}_2\| <\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}+\frac{\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\| }{2}=\|\mathbf{b}_1-\mathbf{b}_2\|$이므로

이는 전체에 대한 모순이다.

그러므로 $\mathbf{b}_1=\mathbf{b}_2$이다.

극한의 성질

$f:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$이며 $A$가 열린 집합일 때 $\mathbf{x}_0$를 $A$의 원소 또는 경계에서 택하자. 또 앞으로 나올 $\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{d}\in\mathbb{R}^m$이고 $c\in\mathbb{R}$이다.

1. $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}_1$이면 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}cf(\mathbf{x})=c\mathbf{b}_1$이다. (함수 $cf:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$는 $\mathbf{x}\mapsto c\left( f(\mathbf{x})\right)$로 정의된다.)
2. $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{b}_1$이고 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}g(\mathbf{x})=\mathbf{b}_2$이면 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}\left( f+g\right)(\mathbf{x})=\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2$이다. (함수$\left( f+g\right) :A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$은 $\mathbf{x}\mapsto f(\mathbf{x})+g(\mathbf{x})$로 정의된다.)
3. $m=1$이고 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=b_1$이고 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}g(\mathbf{x})=b_2$이면 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}\left( fg\right)(\mathbf{x})=b_1b_2$이다. (함수$\left( fg\right) :A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$은 $\mathbf{x}\mapsto f(\mathbf{x})g(\mathbf{x})$로 정의된다.)
4. $m=1$이고 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=b_1\ne 0$이며 모든 $\mathbf{x}\in A$에 대하여 $f(\mathbf{x})\ne 0$면 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}\frac{1}{f}(\mathbf{x})=\frac{1}{b_1}$이다. (함수$\frac{1}{f}:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$은 $\mathbf{x}\mapsto \frac{1}{f(\mathbf{x})}$로 정의된다.)
5. $f(\mathbf{x})=\left( f_1(\mathbf{x}),...,f_m(\mathbf{x})\right)$라면 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f(\mathbf{x})=\mathbf{d}=\left( d_1,...d_m\right)$은 $i$가 $1$부터 $m$까지 각각 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0}f_i(\mathbf{x})=\mathbf{d}_i$을 만족한다와 필요충분조건이다.

   (함수 $f_i:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$은 함수 $f$의 성분함수들이다.)

참고 문헌

• James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7
• Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0
• Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba (2003). Internet Supplement for Vector Calculus(Fifth Edition). 2013년 1월 11일에 확인.

바깥 고리

• 다양한 함수의 극한을 구해주는 사이트 울프람 알파 Limits