샌드위치 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
미적분학
v  d  e  h

샌드위치 정리(sandwich theorem) 혹은 압착 정리(pinching theorem), 스퀴즈 정리(squeeze theorem)는 함수의 극한에 관련된 정리이다. 샌드위치 정리는 미적분학과 수학적 분석에서 널리 쓰인다.

샌드위치 정리는 구하기 힘든 함수의 극한값을, 구하기 쉬운 다른 두 함수의 극한값과 비교를 통해 구하는 방법이다. 이를 최초로 사용한 수학자는 아르키메데스에우독소스로, 이들은 원주율을 기하학적으로 구하는 데에 이 방법을 사용했다. 샌드위치 정리의 현대적 정리는 가우스에 의해 이루어졌다.

무한수열의 극한의 대소 관계[편집]

무한수열 \{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\} 에 대하여 \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha, \lim_{n \to \infty} b_n = \beta 일 때,

모든 자연수  n 에 대하여  a_n \leq c_n \leq b_n 이고  \alpha = \beta 이면 \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha 이다.

함수의 극한의 대소 관계[편집]

샌드위치 정리의 예

함수 f, g, h에 대하여 \lim_{x \to a} f(x) = \alpha, \lim_{x \to a} g(x) = \beta (\alpha, \beta 는 실수)일 때,

ɑ에 충분히 가까운 모든 x에 대하여

f(x) \leq h(x) \leq g(x) 이고  \alpha = \beta 이면 \lim_{x \to a} h(x) = \alpha 이다.

증명[편집]

모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 0<\left| x-a\right| <\delta_1\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\epsilon ,~0<\left| x-a\right| <\delta_2\Rightarrow\left| g(x)-\alpha\right| <\epsilon를 만족하는 양의 실수 \delta_1,~\delta_2가 존재한다.

이때 절댓값을 풀어준다면 0<\left| x-a\right| <\delta_1\Rightarrow\alpha -\epsilon <f(x)<\alpha +\epsilon,~0<\left| x-a\right| <\delta_2\Rightarrow\alpha-\epsilon <g(x)<\alpha +\epsilon이다.

\delta\min(\delta_1,\delta_2)로 잡으면 0<\delta\le\delta_1,~0<\delta<\delta_2이므로 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\alpha -\epsilon <f(x)<\alpha +\epsilon ,~\alpha -\epsilon <g(x)<\alpha +\epsilon이다.

모든 부등식을 종합하면 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\alpha -\epsilon <f(x)\le h(x)\le g(x)<\alpha +\epsilon이고 따라서 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\alpha -\epsilon <h(x)<\alpha +\epsilon이다.

정리하면 모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| h(x)-\alpha\right| <\epsilon를 만족하는 양의 실수 \delta가 존재한다.

그러므로 극한의 정의에 의하여 \lim_{x\to a}h(x)=\alpha이다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. James Stewart (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》. Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7