샌드위치 정리

샌드위치 정리(sandwich theorem) 혹은 압착 정리(pinching theorem), 스퀴즈 정리(squeeze theorem)는 함수의 극한에 관련된 정리이다. 샌드위치 정리는 미적분학과 수학적 분석에서 널리 쓰인다.

샌드위치 정리는 구하기 힘든 함수의 극한값을, 구하기 쉬운 다른 두 함수의 극한값과 비교를 통해 구하는 방법이다. 이를 최초로 사용한 수학자는 아르키메데스와 에우독소스로, 이들은 원주율을 기하학적으로 구하는 데에 이 방법을 사용했다. 샌드위치 정리의 현대적 정리는 가우스에 의해 이루어졌다.

샌드위치 정리는 샌드위치 백작이나 햄 샌드위치 정리와는 전혀 관련이 없다.

무한수열의 극한의 대소 관계

무한수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ 에 대하여 $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha, \lim_{n \to \infty} b_n = \beta$ 일 때,

모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \leq c_n \leq b_n$ 이고 $\alpha = \beta$이면 $\lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$ 이다.

함수의 극한의 대소 관계

샌드위치 정리의 예

함수 f, g, h에 대하여 $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha, \lim_{x \to a} g(x) = \beta$ ($\alpha$, $\beta$ 는 실수)일 때,

ɑ에 충분히 가까운 모든 $x$에 대하여

$f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ 이고 $\alpha = \beta$이면 $\lim_{x \to a} h(x) = \alpha$ 이다.

증명

모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여 $0<\left| x-a\right| <\delta_1\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\epsilon ,~0<\left| x-a\right| <\delta_2\Rightarrow\left| g(x)-\alpha\right| <\epsilon$를 만족하는 양의 실수 $\delta_1,~\delta_2$가 존재한다.

이때 절댓값을 풀어준다면 $0<\left| x-a\right| <\delta_1\Rightarrow\alpha -\epsilon <f(x)<\alpha +\epsilon,~0<\left| x-a\right| <\delta_2\Rightarrow\alpha-\epsilon <g(x)<\alpha +\epsilon$이다.

$\delta$를 $\min(\delta_1,\delta_2)$로 잡으면 $0<\delta\le\delta_1,~0<\delta<\delta_2$이므로 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\alpha -\epsilon <f(x)<\alpha +\epsilon ,~\alpha -\epsilon <g(x)<\alpha +\epsilon$이다.

모든 부등식을 종합하면 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\alpha -\epsilon <f(x)\le h(x)\le g(x)<\alpha +\epsilon$이고 따라서 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\alpha -\epsilon <h(x)<\alpha +\epsilon$이다.

정리하면 모든 양의 실수 $\epsilon$에 대하여 $0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| h(x)-\alpha\right| <\epsilon$를 만족하는 양의 실수 $\delta$가 존재한다.

그러므로 극한의 정의에 의하여 $\lim_{x\to a}h(x)=\alpha$이다.