아벨의 합 공식

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아벨의 합 공식(Abel's summation formula, -合 公式)은 해석학의 간단한 공식으로, 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다. 주로 해석적 수론에서 급수를 적분으로 표현하는 용도로 사용된다.

공식화[편집]

a_n \,실수복소수 항의 수열이라 하고 \phi (x) \,\mathcal{C}^1 \, 급의 함수라 하자. 그러면 다음 항등식이 성립한다.

\sum_{1\le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u) \, \mathrm{d}u \,

여기서,

A(x):= \sum_{0 < n \le x} a_n \,.

이는 사실 단순한 계산을 통해 증명할 수 있는 리만-스틸체스 적분에 대한 부분적분 공식과 다름없는 식이다. 보다 일반적으로는 다음 식이 성립한다.

\sum_{x< n\le y} a_n\phi(n) = A(y)\phi(y) - A(x)\phi(x) -\int_x^y A(u)\phi'(u)\,\mathrm{d}u \,.

사용례[편집]

오일러-마스케로니 상수[편집]

만약 a_n = 1 \, 이고 \phi (x) = \frac{1}{x} \,, 이라면, 이상의 정의에 따라 A (x) = \lfloor x \rfloor \, 이고 다음이 성립한다.

 \sum_1^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u

이러한 공식을 이용해 오일러-마스케로니 상수를 표현할 수 있다.

리만 제타 함수의 표현[편집]

만약 a_n = 1 \, 이고 \phi (x) = \frac{1}{x^s} \,, 이라면, A (x) = \lfloor x \rfloor \, 이고 다음이 성립한다.

 \sum_1^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.

이 공식은 \Re(s) > 1 \, 에 대해서 성립한다. 이 공식을 이용하면 제타함수 \zeta(s) \, 가 s = 1에서 유수 1인 단순극을 갖는다는 디리클레의 정리를 증명할 수 있다.

리만 제타 함수[편집]

만약 a_n = \mu (n) \,뫼비우스 함수이고 \phi (x) = \frac{1}{x^s} \,, 이라면, A (x) = M(u) = \sum_{n \le x} \mu (x) \,메르텐스 함수이고 다음이 성립한다.

 \sum_1^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = s \int_1^\infty \frac{M(u)}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.

마찬가지로 이 공식은 \Re(s) > 1 \, 에서 성립한다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • Apostol, Tom (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.